Extremwertaufgabe.

V=a*b*c ist offenbar u maximieren, wobei a/b=4/3, a+b+c<=170, a,b,c>=0.

durch einsetzen von a/b=4/3:
V=4/3*b²*c zu maximieren auf dem dreieck: D={(x|y)|x,y>=0, 7/3b+c<=170}
im inneren des dreiecks kann die funktion offenbar nicht maximal werden, also muss sie auf dem rand von D maximal werden, genaer: auf der hypotenuse, die durch 7/3b+c=170.
stellt man dies nach c um und setzt in V ein, erhält man eine funktion (V=4/3*b²*(170-7/3b)), die nur noch von b abhängt, diese kann man mit mitteln der 1d analysis auf extrema untersuchen. (ableitung bilden, ableitung null setzen, etc.)

[das ganze kann man sich auch von anfang an plausibel machen: wenn die summe der längen bei max. volumen des quaders echt kleiner als 170 ist, kann man eine seite vergrößern (bis man 170 hat) und erhält ein größeres volumen, also muss bei max. volumen gleichheit gelten: a+b+c=170.
so erspart man sich ein teil der obigen argumentation.]