Matrizen
Frage: Matrizen(11 Antworten)
Es seien b1 und b2 4 dimensionale Spaltvektoren. A eine 4x4 Matrix. Weiterhin gibt es x1,x2,x3 Vektoren (zu faul die hier hin zu schreiben.) Es gelte: Ax1 = b1 Ax2 = b2 Ax3 = 2b1 + b2 1. Finden sie Lösung für x mit Ax = 3b1 - 2b2 => Habe mir einen Zeilenvektor von A genommen und diesen mit x1 und x2 multipliziert. Dann jeweils für b1 und b2 in obige Gleichung eingesetzt. Selbes spielchen für die linke Seite und man hat das Ergebnis. Richtig so? 2. Beweisen Sie, dass A nicht invertierbar ist. => Meine Überlegung: A^-1 = 1/det(A) * adj(A) Wenn det(A) = 0 , so ist sie auch nicht invertierbar. Mein Problem ist beim Berechnen der Determinante für 4x4 Matrizen. Zudem ist es auch noch eine allgemeine Martix (a11,a12,a13,a14) und so weiter bis a44. Sie wird also im allgemeinen Zustand bestimmt nicht = 0 sein. Wo ist der Fehler? |
| Frage von shiZZle | am 14.11.2011 - 20:21 |
| Antwort von v_love | 14.11.2011 - 20:42 |
"Habe mir einen Zeilenvektor von A genommen und diesen mit x1 und x2 multipliziert." wie willst du denn die mit x1,x2 multiplizieren? generell sollte man hier ausnutzen, "Weiterhin gibt es x1,x2,x3 Vektoren (zu faul die hier hin zu schreiben.)" die sind also gegeben? dann solltest du sie vielleicht doch angeben. |
| Antwort von shiZZle | 14.11.2011 - 20:56 |
Habs so gemacht: x1 = (1 -1 0 2) x2 = (0 1 0 1) x3 = (0 2 1 0) Bei der 1 habe ich es so gemacht: A_z = (a11 a12 a13 a14) A_z*x1 = b1 = (a11 - a12 2a14) selbes Spielchen für b2 = (a12 a14) Nun Ax = 3b_1 - 2b_2 (x1a11 x2a12 x3a13 x4a14) = (3a11 -5a12 0a13 4a14) => x = (3 -5 0 4) Darf man das so aufschreiben? Und wie komme ich nun bei der 2 weiter? Kriege keine det(A) raus, weil sie allgemein ist. |
| Antwort von v_love | 14.11.2011 - 21:06 |
das ergebnis stimmt ja sogar, aber die rechnung ist hannebüchen. "A_z*x1 = b1 = (a11 - a12 2a14)" du multiplizierst vektoren komponentenweise zu einem neuen vektor? so eine vektor-vektor multiplikation givt es nicht. "selbes Spielchen für b2 = (a12 a14) " da entsteht sogar ein 2 dimensionaler vektor ... (der gleich einem vektor aus R^4 sein soll) "Kriege keine det(A) raus, weil sie allgemein ist." brauchst du auch nicht ... x1,x2,x3 sind offensichtlich linear unabhängig (trotzdem nachrechnen!), die bildvektoren sind aber lineaer abhängig, das bedeutet natürlich, dass durch A keine bijektion beschrieben werden kann. (beweisen!) |
| Antwort von shiZZle | 14.11.2011 - 21:32 |
Ja bin etwas schreibfaul geworden. Eigentlich sollten das alles Matrizen sein ^^. Werds aber diesmal richtig aufschreiben. Zu 2: Also wenn ich es richtig verstehe geht es gar nicht mit det(A) = 0 zu beweisen? Schade. Die lineare Abhängigkeit kriege ich hin. Was sind Bildvektoren und was ist dem beschreiben der Bijketion von A gemeint? Dachte immer zwei Abbildungen sind entweder injektiv, surjektiv, oder beides (bijektiv). Doch hier habe ich ja eine Matrix. Wie geht man da vor? Mensch Fragen über fragen haha. |
| Antwort von v_love | 14.11.2011 - 21:48 |
"Was sind Bildvektoren" der begriff bild (unter einer funktion) ist sicher bekannt, in diesem fall ist das bildelement ein vektor (im R^4). "was ist dem beschreiben der Bijketion von A gemeint?" A definiert auf kan. weise einen homomorphismus: alpha: R^4-->R^4: x-->Ax. wenn A invertierbar, dann ist alpha injektiv, daraus folgt, dass ein linear unabhängiges system auf ein linear unabhängiges system abgebildet wird. ist hier nicht der fall, also ist A nicht invertierbar. "Dachte immer zwei Abbildungen sind entweder injektiv, surjektiv, oder beides (bijektiv)" oder nichts von all dem, tut aber nichts zur sache. |
| Antwort von shiZZle | 14.11.2011 - 21:48 |
Kann man bei 1 auch schreiben: Da A homomorph gilt: Ax = 3b1 - 2b2 ==> Ax = 3Ax_1 - 2Ax_2 |*1/A x = 3x_1 - 2x_1 Und dann kommt man auf: x = (3 -5 0 4) (Vektor) |
| Antwort von v_love | 14.11.2011 - 21:57 |
durch A dividieren ist äußerst schlecht, 1) weil es keine inverse matrix gibt (in dem fall), 2) weil matrizen i.a. nicht kommutieren (deshalb wird keine division von matrizen eingeführt, die schreibweise ist dann nicht wohldefiniert, auch nicht in der gruppe GL) Ax=A(3x1-2x2)=3*Ax1-2*Ax2=3b1-2b2, also kann man x=3x1-2x2 wählen, damit die gleichung gilt. |
| Antwort von shiZZle | 14.11.2011 - 21:59 |
@v_love: Nen Kollege hat mich mal gefragt, ob du kurz über seinen Lösungsweg gucken könntest, für diese Aufgaben: Zitat: |
| Antwort von v_love | 14.11.2011 - 22:06 |
"da bekommt man dann A * ("irgendein Vektor") = 0" ne. |
| Antwort von shiZZle | 15.11.2011 - 16:50 |
HAbs jetzt mal versucht. Komme aber nicht bei der Bijektion weiter. Versuche es aber weiter. Ne andere Frage. Mein Kollege hat jetzt folgendes geschrieben: Zitat: Zitat: Zitat: Klingt für mich logisch. Dich ich glaube, wenn es so einfach gewesen wäre, dann hättest du mir auch diesen Weg vorgeschlagen. Wo ist also der Fehler bei diesem Beweis? |
| Antwort von v_love | 15.11.2011 - 16:59 |
na ja, der erste fehler ist, dass es kein beweis ist  "irgendein Vektor, der nicht der Nullvektor ist und aus der vorhergehenden Gleichung zu erechnen ist" schwammig, wenn der vektor fest ist, z.b. (-2|3|1|-5), dann folgt aus Ax=0 nicht A=0. wenn gilt Ax=0 für alle x aus R^4, dann ist A=0 (wie einsetzen der kan basisvektoren für x zeigt)- das haben wir hier aber nicht; und generell ist die implikation A=0 hier falsch, A muss nicht die nullmatrix sein. kannst dir ja als übung beispiele überlegen, wo A<>0 ist, trotzdem die 3 gleichungen für gewisse b_i gelten. |
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