Gleichmäßige Konvergenz

Du darfst den Grenzwert deshalb vorbeiziehen, da es sich um kommutative Operatoren handelt.

Da spricht der Fachmann...

schau dir fn(x)=e^(-xn) / (x sin x + nx^2 +4) für x aus [pi/2,pi] doch mal an.
welcher term dominiert für große n?

na ja ... ich bezeichne mit ||.|| die supremumsnorm, es gilt:
||e^(-xn) / (x sin x + nx^2 +4)||<=||e^(-x*n)||=e^(-pi*n/2), und da wirst du sicherlich ein N aus N finden, sodass das das für alle epsilon>0 kleiner als epsilon ist (einfach, weil es offensichtlich eine nullfolge ist)

ist praktisch auch schon der nachweis für die vertauschbarkeit der grenzprozsse.

das brauchst du nicht finden.
es ist offensichtlich, dass das existiert.

den grenzwert kannst du daraus ablesen. (er steht ja schon da, wenn man genau hinguckt)

eigentlich müsstest du das langsam wissen, kommt ja immer wieder in der analysis vor.

wenn ich schreibe für alle epsilon>0 ex. ein N aus N, sodass ab diesem n gilt ||v(n)||<epsilon gilt, dann konvergiert v(n) (irgendein vektor im banachraum) gegen 0.
ist anschaulich auch ganz klar: du kannst den "abstand" (d(v(n),0)=||v(n)||) zu 0 beliebig klein machen.