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Gleichmäßige Konvergenz

Frage: Gleichmäßige Konvergenz
(12 Antworten)


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Hallo ich brauche hilfe bei dieser Aufgabe:


Berechnen Sie

lim n gegen unendlich Integral von pi/2 bis Pi

e^(-xn) / (x sin x + nx^2 +4) dx

Für hilfe wäre ich dankbar
Frage von Chaz21 (ehem. Mitglied) | am 24.05.2011 - 19:38


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Antwort von v_love | 24.05.2011 - 19:41
wirst du schlecht integrieren können,
deshalb ziehst du lim am integral vorbei, berechnest den grenzwert, dann das integral des grenzwertes.

nachher musst du dir natürlich noch überlegen, wieso du den grenzwert vorbei ziehen darfst.

 
Antwort von GAST | 24.05.2011 - 19:44
Du darfst den Grenzwert deshalb vorbeiziehen, da es sich um kommutative Operatoren handelt.


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Antwort von v_love | 24.05.2011 - 19:45
so ein müll hört man auch selten ...

 
Antwort von GAST | 24.05.2011 - 19:46
Da spricht der Fachmann...


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Antwort von Chaz21 (ehem. Mitglied) | 24.05.2011 - 21:01
Aber wie kriege ich den Grenzwert raus?


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Antwort von v_love | 24.05.2011 - 21:04
schau dir fn(x)=e^(-xn) / (x sin x + nx^2 +4) für x aus [pi/2,pi] doch mal an.
welcher term dominiert für große n?


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Antwort von Chaz21 (ehem. Mitglied) | 24.05.2011 - 21:21
das e^ dominiert oder . Aber wie beweise ich die Konvergenz?


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Antwort von v_love | 24.05.2011 - 21:25
na ja ... ich bezeichne mit ||.|| die supremumsnorm, es gilt:
||e^(-xn) / (x sin x + nx^2 +4)||<=||e^(-x*n)||=e^(-pi*n/2), und da wirst du sicherlich ein N aus N finden, sodass das das für alle epsilon>0 kleiner als epsilon ist (einfach, weil es offensichtlich eine nullfolge ist)

ist praktisch auch schon der nachweis für die vertauschbarkeit der grenzprozsse.


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Antwort von Chaz21 (ehem. Mitglied) | 24.05.2011 - 21:31
Soll ich jetzt den Grenzwert finden oder wie finde ich das N ?


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Antwort von v_love | 24.05.2011 - 21:38
das brauchst du nicht finden.
es ist offensichtlich, dass das existiert.

den grenzwert kannst du daraus ablesen. (er steht ja schon da, wenn man genau hinguckt)


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Antwort von Chaz21 (ehem. Mitglied) | 24.05.2011 - 22:07
Wie lautet er denn , ich erkenne ihn ja nicht.


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Antwort von v_love | 26.05.2011 - 19:10
eigentlich müsstest du das langsam wissen, kommt ja immer wieder in der analysis vor.

wenn ich schreibe für alle epsilon>0 ex. ein N aus N, sodass ab diesem n gilt ||v(n)||<epsilon gilt, dann konvergiert v(n) (irgendein vektor im banachraum) gegen 0.
ist anschaulich auch ganz klar: du kannst den "abstand" (d(v(n),0)=||v(n)||) zu 0 beliebig klein machen.

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