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Frage: Reihen
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Hi leute brauche hilfe bei einer Aufgabe.


Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der folgenden Reihen

( n! )^2 * 5^n / ( 2n ) !

Danke
Frage von Jack21 (ehem. Mitglied) | am 01.01.2011 - 19:45

 
Antwort von GAST | 01.01.2011 - 20:05
Hallo,


vielleicht hilft folgendes:
-Quotientenkriterium
-(n!)² und (2n)! umschreiben
-danach Fakultäten kürzen


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Antwort von Jack21 (ehem. Mitglied) | 01.01.2011 - 21:04
Kannst du mir bitte kurz sagen wie dieses Kriterium funktioniert.
Hab es leider nicht so gut verstande.
Danke

 
Antwort von GAST | 01.01.2011 - 21:09
du betrachtest a(n+1)/a(n), wobei (a(n)) durch a(n)=n!²*5^n/(2n)! definiert ist.
das kannst du hier vereinfachen (von den fakultäten kürzt sich sehr viel weg, und 5^(n+1)/5^n ist sogar unabhängig von n)
und dann schaust dir mal den grenzwert dieser quotientenfolge an (diesen erhälst du einfach durch die grenzwertsätze)

 
Antwort von GAST | 01.01.2011 - 21:15
Hallo,

es gilt folgendes:

Der Betrag von [a(n+1)]/[a(n)] muß kleiner oder gleich q sein für alle
n aus N, wobei gilt: 0<q<1.
Es genügt, wenn die obige Bedingung erst ab einem gewissen n erfüllt ist.
Warum? Endlich viele Summanden sind für die Konvergenz einer Reihe ohne Bedeutung.

 
Antwort von GAST | 01.01.2011 - 21:19
"Der Betrag von [a(n+1)]/[a(n)] muß kleiner oder gleich q sein für alle
n aus N, wobei gilt: 0<q<1."

alle n aus N? nein.


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Antwort von Jack21 (ehem. Mitglied) | 02.01.2011 - 01:59
a(n)=n!²*5^n/(2n)! Wenn man kürzt dann steht doch

5n / ( 1n ) ! oder ?

 
Antwort von GAST | 02.01.2011 - 02:02
Hallo,

(n!) und (2n)! können Sie direkt nicht kürzen, Sie müssen erst mal umformen.

 
Antwort von GAST | 02.01.2011 - 02:04
Ich hatte den Exponenten vergessen:

(n!)²/(2n)! lautete ja die Aufgabe.


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Antwort von Jack21 (ehem. Mitglied) | 02.01.2011 - 02:04
was soll ich den umformen


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Antwort von Jack21 (ehem. Mitglied) | 02.01.2011 - 02:06
oh ja hast recht . Aber kannst du mir sagen was ich umformen soll.

 
Antwort von GAST | 02.01.2011 - 02:21
Hallo,

gegeben:
(n!)²/(2n)! Ersetzen Sie n durch n+1, dann teilen Sie den Ausdruck durch das allgemeine glied a(n). Sie müssen einen Doppelbruch bekommen und mit etwas Glück sollten Sie dann 1/4 für diesen Term erhalten.


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Antwort von Jack21 (ehem. Mitglied) | 02.01.2011 - 02:42
das wäre dann ( n+1) * ( n+1) *5^n / (2n)!

Aber was mache ich hiermit (2n)!

 
Antwort von GAST | 02.01.2011 - 02:53
Hallo,

(2n)!=2n*(2n-1)!


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Antwort von Jack21 (ehem. Mitglied) | 02.01.2011 - 02:56
(2n)!=2n*(2n-1)!

Wie kommst du auf das hier.
Kannst du mir das erklären.

 
Antwort von GAST | 02.01.2011 - 03:04
Dies ergibt sich aus den Rechenregeln für Fakultäten:
Formeln
n!=n*(n-1)!
(n+1)!=(n+1)*n!
(n-1)!=(n-1)*(n-2)! und auch
(2n)!=2n*(2n-1)!
Beispiel:
2n sei 6, deshalb: 6!=6*(6-1)!


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Antwort von Jack21 (ehem. Mitglied) | 02.01.2011 - 03:11
( n+1) * ( n+1) *5^n / 2n*(2n-1)!
Aber was kürzt sich hier dann weg ?

 
Antwort von GAST | 02.01.2011 - 11:52
da hast du einiges weggelassen.
richtig wäre a(n+1)/a(n)=5^(n+1)/5^(n)*[(n+1)!(n+1)!]/[n!*n!]*(2n)!/(2n+2)!

und jetzt siehst du, was zu machen ist:
(n+1)!=n!*(n+1), also kürzen sich n!*n! weg
(2n+2)!=(2n)!*(2n+1)(2n+2), somit kürzt sich auch (2n+2)! weg

übrig bleibt etwas vom typ polynom/polynom, wobei zähler und nennerpolynom gleichen grades sind. (den grenzwert siehst du also direkt.)


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Antwort von Jack21 (ehem. Mitglied) | 02.01.2011 - 13:00
a(n+1)/a(n)=5^(n+1)/5^(n)*[(n+1)!(n+1)!]/[n!*n!]*(2n)!/(2n+2)!

Wie kommst du auf das hier. Kannst du mir das bitte in Worten erklären, weil ich verstehe es nicht.
Ich verstehe vor allem auch nicht wie du auf das 5^n+1 kommst.

 
Antwort von GAST | 02.01.2011 - 13:11
Hallo,
also in Worten:
Die Formel, die Sie verwenden müssen, ist das Quotientenkriterium.
Das Quotientenkriterium lautet:[a(n+1)]/[a(n)].
Dies bedeutet: Ersetzen Sie im Zähler alle n durch n+1;
im Nenner nehmen Sie einfach das Bildungsgesetz a(n).


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Antwort von Jack21 (ehem. Mitglied) | 02.01.2011 - 15:27
Aber wie kommt man da auf den Wert 1/4 ?

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