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Schule > Mathematik > Geometrie und Trigonometrie > Mathematische Reihen: Geometrische Reihe

Die Geometrische Reihe

Dreieckskaktee:
>; beginnt mit gleichseitigem Dreieck
mit Flächeninhalt A0=1
>; pro Generation bilden sich an 2
Seiten jeweils ein ähnliches Dreieck
mit halber Seitenlänge

a.) Flächeninhalte der Zuwächse (a_1, a_2, a_n)
Zuwachs immer Hälfte des vorherigen Zuwachses
=> a1=1/2 A0
a1=1/21=1/2
a2=1/2a1
a2=1/2(1/2 A0)=
an=1/2n A0
Flächeninhalte der gesamten Kaktee (A_0, A_1, A_2, A_n)
A_1 = A_0 + a_1
= A_0 + 1/2 ^1 A_0
= 1 + 1/2 = 1,5
A_2 = A_0 + a_1 + a_2
= 1 + 1/2^1 A_0 + 1/2^2 A_0
= 1 + 1/2 + = 1,75
A_n = A_0 + a_1 (...) + a_n
A_0 1/2^n ist eine geometrische Folge, also heißt die Folge S_n= A_n mit S_n =
A_0* 1/2^0 + A_0 1/2^1 + ... + A_0 1/2^n geometrische Reihe mit Anfangswert a=
A_0 und Quotient q= 1/2
Vereinfachung des Berechnens der Folgeglieder
S_n = a*q^0 + a*q^1 + a*q^2 + ... + a*q^(n-1) + a*q^n
- q*S_n = + a*q^1 + a*q^2 + ... + a*q^n + a*q^(n+1)
S_n-q*S_n= a*q^0 + 0 + 0 + ... + 0 - a*q^(n+1)
durch geschicktes Ausklammern:
S_n*(1-q)= a*(1-q^(n+1)
Durch Umformen (durch (1-q) teilen) erhält man den
1. Satz:
; q 1
Zu a)
S_n = A_n ; A_0 = 1
A_n = 1* (1- 1/2^(n+1))/(1-1/2)
b) Grenzwert (Grenzwert = g) ermitteln
= 2,0

Satz 2 zu Konvergenz von geometrischen Folgen und Reihen
Ist (a*q^n) eine geometrische Folge und (S_n) die zugehörige geometrische Reihe, so
gilt:
a) (a*q^n) ist eine Nullfolge (d.h. sie läuft gegen 0) für Betrag(q) < 1
b) S_n ist konvergent für Betrag(q) < 1 mit dem Grenzwert g = a/(1-q)
zu b)

Es handelt sich hier um eine Nullfolge, denn q = 0,5 und damit < 1, außerdem strebt
a_n gegen 0 .
An (=Sn) ist konvergent mit dem Grenzwert 1/(1-0,5) = 2 , wie sich oben schon
bestätigte.

c)
Nun stellen wir A_1 mit a_1 und g, A_2 mit a_2 und g sowie A_n mit a_n und g dar
A_1 = g - a_1
= 2 - 1/2 = 1,5
A_2 = g - a_2
= 2 - = 1,75
A_n = g - a_n
= a/(1-q)-(a*q^n).
Wie wir bei a) herausgefunden, ist A_n = S_n= a*(1-q^(n+1))/(1-q).
=> a/(1-q)-(a*q^n) = a*(1-q^(n+1))/(1-q)
CAS bestätigt Gleichheit!

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