Extremwertproblem
Frage: Extremwertproblem(10 Antworten)
Hallo zusammen Ich hab hier eine Aufgabe und steh i-wie auf dem Schlauch^^ Aus 3 Brettern der breite 0,5m sollen dachrinnenelemente der länge 2m hergestellt werden. a) Bestimmen Sie die Höhe h und die obere Breite a in Abhängigkeit vom neigungswinkel alpha. b)zeigen sie, dass sich der Fl.-Inhalt der Querschnittsfläche mit A(alpha) = 0,25*[1+ cos(alpha)]*sin(alpha) darstellen lässt. c) Für welches alpha hat das Dachrinnenelement das max. a) und b) hab ich gelöst, nur komm ich bei c) nicht ganz klar. Für das Volumen brauche ich ja eig. nur die gleichung für A multiplizieren mit 2, dann wars das ja schon. Mein Problem ist nur, dass ich bei der Extremwertberechnung immer auf 90° komme für alpha, nur ist das falsch, 60° wären meiner meinung das richtige... Mir ist klar, dass eine trigonometrische funktion eig ja unendlich viele Extrema hat, also denke ich, dass man i-wie anders auf das max Volumen kommen muss. Nur jetzt steh ich auf dem Schlauch, ich hab einfach keine Idee... Wenn jemand eine idee hätte, wäre ich sehr dankbar :-) |
| Frage von kevin1234 (ehem. Mitglied) | am 13.10.2010 - 15:01 |
| Antwort von kevin1234 (ehem. Mitglied) | 13.10.2010 - 15:33 |
Hier ist noch eine Skizze für die Dachrinne: Zitat: |
| Antwort von Double-T | 13.10.2010 - 18:53 |
Wie ist denn deine Ableitung? |
| Antwort von kevin1234 (ehem. Mitglied) | 13.10.2010 - 19:06 |
Also die vom Volumen: V`(alpha)= -0,5*cos(alpha)*sin(alpha)-0,5*sin(alpha) |
| Antwort von GAST | 13.10.2010 - 20:36 |
ist auch nicht richtig. du solltest auf cos(2alpha)+cos(alpha)=A`(alpha) bis auf einen faktor (der mich wenig kümmert) vielleicht kommen daran siehst du schon, dass 60° eine lösung (der gleichung A`=0) sein muss, denn: die kosinusfunktion ist punktsymmetrisch. |
| Antwort von kevin1234 (ehem. Mitglied) | 14.10.2010 - 14:36 |
Kannst du mir sagen, wie du auf diese Ableitung kommst? Weil ich habe keine Idee, wie ich darauf kommen könnte... |
| Antwort von GAST | 14.10.2010 - 15:18 |
produktregel mit u=1+cos(alpha), v=sin(alpha) |
| Antwort von kevin1234 (ehem. Mitglied) | 14.10.2010 - 15:31 |
Das mit der Produktregel hatten wir noch nicht und auch kommt die aufgabe VOR dem Kapitel mit der produktregel, also muss ich ja i-wie anders draufkommen, oder? |
| Antwort von GAST | 14.10.2010 - 15:37 |
du kannst es auch mit kettenregel ableiten, wenn du ausdistributierst und das additionstheorem sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)*sin(y) anwendest. |
| Antwort von kevin1234 (ehem. Mitglied) | 14.10.2010 - 15:40 |
Hatten wir leider auch noch nicht... :) Ich muss also i-wie einen anderen Weg finden, das Maximum zu berechnen... Aber trotzdem danke für deine Bemühungen :-) |
| Antwort von GAST | 14.10.2010 - 21:11 |
du kannst natürlich auch die quotientenregel anwenden, indem du durch sin(alpha) dividierst, dann differenzierst. was auch per extremwertberechnung zum ziel führt (ohne produkt-, ketten- und quotientenregel) ist die anwendung der produktformel; aber auch unwahrscheinlich, dass ihr das behandelt habt. kannst auch ganz ohne ableiten der funktion argumentieren: man rät 60° als extremstelle und beweist, dass es richtig ist: setze f(alpha):=sin(alpha)+1/2*sin(2alpha) zeige: für hinreichend kleine delta gilt: f(60°+delta)<=f(60°) der hintergrund der ungleichung ist die monotonie der cos-funktion(musst also nur die ableitung vom sin kennen) dann ist festzustellen, dass f(0), f(90°) kleiner sind als f(60°). da die funktion gutartig ist, gilt die ungleichung für alle delta, also folgt die behauptung. |
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