Asymptotisches Verhalten - Gebrochenrationale Funktion

Zitat:

ich will dir mal so viele fälle wie möglich aufzählen:
zunächst aber einmal eine definition: ist f(x)=a1x^n+a2x^(n-1)+a3x^(n-2)+...+an (man spricht dann von einem polynom), so heißen a1,a2,a3,...an koeffizienten und a1 heißt leitkoeffizient

1.polynome: fallunterscheidung: leitkeoffizient positiv:

f(x) geht gegen unendlich für x-->unendlich
f(x) geht a)gegen -unendlich für x-->-unendlich, falls der grad von f ungerade ist
f(x) geht b)gegen +unendlich für x-->unendlich, falls der grad von f gerade ist.

leitkoeffizient negativ:

f(x) geht gegen -unendlich für x-->unendlich
f(x) geht a)gegen unendlich für x-->-unendlich, falls der grad von f ungerade ist
f(x) geht b)gegen -unendlich für x-->unendlich, falls der grad von f gerade ist.

2. funktionen der form z(x)/n(x)=f(x)

ist der grad von z(x) höher als der grad von n(x), so geht f(x) gegen +unendlich bzw -unendlich für x-->+-unendlich. um zu schauen obs gegen + oder -unendlich geht musst du die in 1. genannten regeln für polynome anschauen. du betrachtest dabei nur z(x). n(x) ist dafür unwichtig.

ist grad(z(x))=grad(n(x)), dann gilt f(x)=a/b für x-->+-unendlich.

a ist der leitkoeffizient von dem polynom z. b ist der leitkeoffizient von dem polynom n.

ist der grad(z(x))<grad(n(x)), so konvergiert die funktion gegen 0 für x-->+-unendlich

3.exponentialfunktionen:

die exponentialfunktion f(x)=e^x geht gegen unendlich für x-->+unendlich und gegen 0 für x-->-unendlich

4.logarithmusfunktionen:

die natürliche logarithmusfunktion x-->ln(x) mit der definitionsmenge R+ geht gegen +unendlich für x-->+unendlich und gegen -unendlich für x-->-unendlich.

5.gemischte funktionen (aus epx-ln und polynomen).

hier gibts keine allgemeine regel, allerdings musst du folgendes beachten:

die epxonentialfunktion konvergiert am schnellsten. die logarithmusfunktion am langsamsten. das polynom ist in der mitte.
d.h. wenn du sowas hier hast: f(x)=e^(-x)+x, weißt du zwar, dass x gegen unendlich geht (für x-->unendlich), aber e^(-x) geht gegen 0 (nach regel 3.). und nach regel 5. ist e^(-x) der stärkere, also geht die ganze funktion gegen 0, und nicht gegen unendlich (für x-->unendlich)

6.ansonsten gibts noch 2 regeln, die sehr wichtig allgemein und vor allem auch für wurzelfunktionen (und gebrochenrationale funktionen sind):

a)
grenzwertsätze:hat g(x) den grenzwert a und h(x) den grenzwert b so hat g(x)+h(x) den grenzwert a+b.
g(x)-h(x) den grenzwert a-b
g(x)*h(x) den grenzwert a*b
g(x)/h(x) den grenzwert a/b, falls b ungleich 0.

beispiel dazu: f(x)=g(x)*h(x)=(x^2+2)/(2x^2+1)*(4x^3+7)/(3x^3+2x^2)

du weißt nach regel 2 hat g(x) den grenzwert 1/2 und und h(x) den grenzwert 4/3. also ist der grenzwert von f(x):
g=1/2*4/3=4/6=2/3

b)krankenhausregel:

ist f diffbar und lim(x-->unendlich)z(x)=0 und lim(x-->unendlich)n(x)=0, so gilt lim(x-->unendlich) z(x)/lim(x-->unendlich) n(x)=lim(x-->unendlich) z`(x)/lim(x-->unendlich) n`(x).

gleiche regel gilt, wenn lim(x-->unendlich)z(x)=unendich und lim(x-->unendlich)n(x)=unendlich. man nennt solch einen ausdruck unbestimmter ausdruck.

beispiel, auch hierzu:

e^(x)/x. für x-->unendlich gehen e^x und x (zähler und nenner) gegen unendlich. somit ist die regel anwendbar uns [e^x]`/[x]`=e^x/1=e^x hat denselben `grenzwert`

nämlich gar keinen. die funktion geht gegen unendlich für x-->unendlich. (dies hätte man auch mit regel 5 lösen können, e^x konvergiert schneller als x gegen unendlich, somit kanns keinen grenzwert geben)



hoffe ich hab mich niergendwo vertan, passiert schnell mal.

falls doch, wäre es sehr nett, wenn mir jemand den fehler, falls er/sie einen finden sollte, melden würde.