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Extremwertaufgabe Zylinder

Frage: Extremwertaufgabe Zylinder
(3 Antworten)

 
geg.: Ein Zylinder(oben offen) mit V=10l=10000cm³

ges.: Radius(r) und Höhe(h) damit der Materialverbrauch(Ao) minimal ist

Danke für Lösungsvorschläge
GAST stellte diese Frage am 03.03.2008 - 15:52

 
 Antwort von GAST | 03.03.2008 - 16:06
du brauchst einmal deine hauptbedingung und einmal deine nebenbedingung. deine hauptbedingung ist die fläche die für das gegebene volumen minimal werden soll:
A=r²*pi + 2*r*h*pi

nebenbedingung wird durch das volumen gegeben:
V=pi*r²*h
diese stellst du nach h um:
h=V/(pi*r²)

jetzt ersetzt du das h in der hauptbedingung durch den ausrdück aus der nebenbedingung:
A= r²*pi + 2*pi*r*[V/(pi*r²)]
=> A= pi*r² + (2*v)/r

davon berechnest du jetzt einfach den extrempunkt indem du nach r ableitest

 
 Antwort von GAST | 03.03.2008 - 16:15
Dankeschön sehr nett

 
 Antwort von GAST | 03.03.2008 - 16:59
du musst das ganze jetzt nach r ableiten:


A`(r)= 2*pi*r-(2V/r²)

das setzt du jetzt gleich 0 um r zu berechnen:
2*pi*r-(2V/r²)=0
<=> 2*pi*r³-2V=0
<=> 2*pi*r³=2V
<=> r³= 2V/2pi
<=> r³= V/pi
=> r= (V/pi)^(1/3)

das ist nur die notw. bed., eigentlich müsste man noch die hinr. bed. überprüfen aber ich geh mal davon aus dass der wert stimmt...

jetzt setzt du den wert von r einfach in h=V/(pi*r²) ein um h zu berechnen und du bist fertig...

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