Kurvendiskussion--klausur

was ist In : kannse vlt ne andere mir geben welche auch direkt gelöst wurde weil anhand davon kann ich lernen

ln=logarithmus naturalis

das ist aber ne extrem leichte GANZrationale funktion..naja...
f`(x)=4x³-8x
f``(X)=12x²-8
f```(x)=24x

nullstellen:
x^4-4x²+4=0
substituiere:u=x²
u²-4u+4=0
2+-0=u
u=2

2=x²
x=+-2^(1/2)

--->es liegen 2 doppelt reele nullstellen vor

extrema
f`(x)=0
4x³-8x=0
x(4x²-8)=0
x1=0

4x²=8
x²=2
x=+-2^(1/2)

f(0)=0-0+4
f(0)=4

extremum1:0|4

f(2^(1/2))=4-8+4
f(2^(1/2))=0

extrama2 und 3:+2^(1/2)|0 bzw -2^(1/2)|0

extrama in f`` eingesetzt:
f``(0)=-8
-8<0--->maximum

f``(2^(1/2))=24-8=16
16>0--->minimum

hochpunkt:0|4
tiefpunkte:2^(1/2)|0;-2^(1/2)|0

wendepunkte:
f``(x)=0
12x²-8=0
12x²=8
x²=2/3
x(1;2)=-(2/3)^(1/2);+(2/3)^(1/2)

f((2/3)^(1/2))=4/9-4*2/3+4=16/9

wendepunkte:-(2/3)^(1/2)|16/9;(2/3)^(1/2)|16/9

wendepstellen in f```(x) einsetzen:
f```((2/3)^(1/2))=24*(2/3)^(1/2)

24*(2/3)^(1/2)>0--->re->li

f```(-(2/3)^(1/2)=24*-(2/3)^(1/2)
24*-(2/3)^(1/2)<0--->li->re

es liegen keine polstellen und keine hebbaren unstetigkeiten vor

definitionsbereich:R
wertebereich:R+(einschließlich 0)

es ist eine gerade funktion---->es gilt also f(x)=f(-x)-->der graph der funktion ist achsensymmetrisch

es liegen weder schräge noch lineare asymptoten vor

verhalten im unendlichen hab ich vergessen..wobei man das bei ganzrationalen funktionen nicht unbedingt angeben muss
für x gegen unendlich geht natürlich auch f(x) gegen unendlich

hier hast du noch ne schöne (und wesentlich schwierigere) aufgabe von mir:
f(x)=(2x²-2x+1)/(x²-2x) mit x element von C

wenn du die komlett richtig löst, kriegst du in der klausur min. 13 punkte

und noch ne frage...zu der oberen aufgabe die mir v_love freundlicherweise gelöst hat.

untersuchen sie den graphen von f auf symetrie und schnittpunkte mit der x-achse.


icgh weis nich wie mann das mit der symetrie macht, kann mir das jemand erklären vlt anhand der lösung?