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Sachaufgabe zum Vergleich zweier Funktionen: Ansatz gesucht

Frage: Sachaufgabe zum Vergleich zweier Funktionen: Ansatz gesucht
(6 Antworten)


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In einem Jahr stieg die Einwohnerzahl einer Stadt um 6%, das Müllvolumen jedoch nur um 2%. Wie viel % Müll wurden durchschnittlich eingespart?


Ich komme hier nicht weiter. Wie komme ich überhaupt darauf wie viel eingespart wird?
Bitte Denkansätze geben

Solch eine Aufgabe könnte morgen in meinem Mathetest drankommen
Frage von Wodash72 | am 15.08.2019 - 11:52


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Antwort von Rikko | 15.08.2019 - 18:38
Hallo, also nehmen wir an, es wäre eine Stadt mit 100.000 Einwohnern und die Bevölkerung wächst um 6%, also auf 106% (=106.000 Einwohner). Vereinfacht nehmen wir an, jeder Einwohner verursacht 1 t Müll/Jahr.


Wenn der anfallende Müll nur um 2% steigt, also auf 102.000 t, dann spart man theoretisch 4.000 t an Müll ein.

Zur Einsparung:
Bezugsgröße, also Basis ist der zu erwartende Müll (106.000 t).
Durchschnittliche Einsparung sind ja 4.000 t.
4.000 t/106.000 t = 0,03773....,also rund 3,77%.

Mann kann es auch direkt rechnen ohne Beispiel!
(106% erwarteter Müll je Einwohner - 102% Müll je Einwohner) / 106% erwarteter Müll je Einwohner = 4/106. (*100 ≈ 3,77%)


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Antwort von frosstrubin | 24.08.2019 - 15:02
Die Bevölkerung und die Müllmenge wachsen, daher wird kein Müll eingespart. Es wird nicht gefragt, wieviel Müll gegenüber einem Wachstum in gleicher Größenordnung (6%) eingespart worden wäre.

Berechnung der Müllmenge aufgrund von Bevölkerungswachstum und zunehmender Müllerzeugung:

Bevölkerung := x

Bevölkerungswachstum: b(x)=x^1,06
Müllmenge: m=m(b(x))
"Der Müll ist eine Funktion der wachsenden Bevökerung"
Müllwachstum: mw=m^1,02=m(b(x)^1,02=m(x^1,06)^1,02
Rechenregel: Bei Potenzierung einer Potenz werden die Exponenten miteinander multipliert. (a^b)^c= a^(b*c)

Damit ist numerisch mw=x^1,0812

Lösungssatz: Die Müllmenge wächst bei wachsender Bevölkerung und wachsender Müllproduktion um 8,12%. Da nicht nach einer Einsparung gegenüber einer Referenz gefragt worden war, ist keine fiktive Einsparung zu berechnen.


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Antwort von Rikko | 25.08.2019 - 00:50
@frosstrubin: irgendwas stimmt mit deinem Lösungsansatz nicht! warum potenzierst du denn? Stattdessen solltest du multiplizieren. 6% Bevölkerungswachstum: 100 Einwohner->106 Einwohner, bei dir wären es 131,82 Einwohner Hier gehts auch nicht um Wachstumsraten, auch wenn es Bevölkerungswachstum heißt in der Aufgabenstellung.
Und natürlich ist die Frage nach der Mülleinsparung gestellt, die ich wie oben beantwortet habe. Es wird Müll eingespart, weil ja der Müll im Vergleich zum Bevölkerungswachstum verringert wächst.


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Antwort von frosstrubin | 25.08.2019 - 10:56
"stieg um 6%" nennte ein Wachstum pro Periode "1 Jahr". Das Wachstum von Populationen wird mit Exponentialfunktionen beschrieben. Die Wikipedia erläutert verschieden Definitionen von Wachstumsraten. Die Vermehrung von Müll erfolgt wie ein Populationswachstum überproportional.

In der Aufgabe wird nicht danach gefragt, wieviel Müll bei einer 2%igen Wachstumsrate gegenüber einer 6%igen Wachstumsrate analog zum Bevölkerungswachstum weniger entstanden wäre.

Die Aufgabe macht bewußt, welche Hebeleffekte bei verknüpften Wachstumsfunktionen auftreten. Sie regt mit unserer Diskussion auch zur Reflektion über kolportierte Einsparungsmechanismen an. Die beobachtbare Vermehrung von Müll legt ein exponentielles mathematisches Modell nahe.


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Antwort von Rikko | 26.08.2019 - 00:37
@frosstrubin: Du willst es nicht verstehen! Lies doch die Aufgabenstellung. Deine Lösung ist auf jeden Fall falsch. Bei mehrjähriger Betrachtung käme allenfalls sowas wie eine geometrische Folge in Frage: b(x) = x*1,06*1,06... also x*(1,06^i); dabei steht i für die Jahre. Hier wird nur nach einem Jahr gefragt und den durchschnittlich anfallenden Müll. Durchschnittlich, weil ja einige Einwohner viel und andere wenig Müll produzieren.
Der Fragesteller ist 18 und studiert nicht, es geht hier um eine einfache Prozentaufgabe!


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Antwort von frosstrubin | 26.08.2019 - 08:07
Entschuldige, meine Betrachtung berücksichtige nicht die Multiplikation des Bevölkerungsbestandes B, der mit dem zeitabhängigen Wachstum für jede Bevölkerungszahl eine Berechnung ermöglicht. Du bezeichnest richtig das fernere Bevölkerungswachstum als zeitabhängige Folge

Bevölkerungsbestand b(t) = b * 1,06^t.
Die Beziehungs zur Prozentrechnung ist die Zinseszinsformel.
Der Fragesteller hat noch nicht die Antwort registriert und als beantwortet bewertet.

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