Kurvendiskussion: Korrigieren bitte !

Du kannst beim nächsten Mal gerne die Fortsetzung Deiner Aufgabe im alten Post schreibe, wo Du ja schon die erste Ableitung bestimmt hast. Die zweite und dritte Ableitung müssten richtig sein, wenn ich mich nicht vertan habe.

Zitat:
e^-x^2 =0  geht nicht da E funktion nicht 0 werden darf

Ich würde es eher formulieren: Nicht 0 werden kann. Denn "nicht darf" klingt, als wäre es außerhalb des Definitionsbereichs. 0 ist hier aber nur außerhalb des Wertebereichs. (Aber ich bin mir nicht sicher, wie genau Ihr das begründen sollt.)
Zum Beispiel darf der Teil unter der Wurzel nicht negativ sein (laut Definitionsbereich.)

Zitat:
f`(x)= -2x*e^-x^2 =0
          -2x             =0

 Du kannst hier noch Dich auf den Satz des Nullprodukts beziehen, der besagt, dass das Produkt 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
Dann hättest Du im Zwischenschrit -2x=0 und e^-x^2=0 zu e^-x^2 hast Du ja schon vorher etwas gesagt.
Dein Ergebnis beim Extrempunkt ist also richtig.

[Bearbeitet dank LsD: Du hast das richtige Ergebnis, aber nutzt es falsch. Auch hier kannst Du nicht Deine Nullstelle in die 1. Ableitung einsetzen. Du hast ja schon eben gezeigt, dass das Ergebnis 0 ist. Du musst in die eigentliche Funktion Deine Nullstelle einsetzen also f(0).]

Da bist Du aber noch nicht fertig. Du hast nur gesagt, dass es ein Extrempunkt ist. Was für ein Extrempunkt ist es denn? Ein lokaler Hochpunkt oder ein lokaler Tiefpunkt?
Du hast dafür 2 Möglichkeiten:
2. Ableitung an der Stelle ausrechnen und gucken: Ist die 2. Ableitung >0, hast Du einen Tiefpunkt. Ist sie <0 hast Du einen Hochpunkt.
2. Möglichkeit: Kurz vor und nach der Nullstelle gucken und Vorzeichen beachten.
Wechselt das Vorzeichen von - nach + hast Du einen Tiefpunkt und bei + nach - einen Hochpunkt.
Du musst dann noch die Stelle 0 in Deine Funktion einsetzen, um den Extrempunkt konkret nennen zu können.

Bei den Extrempunkten weiß ich nicht, ob Du echt so ungenau sein darfst. Du hast ja eigentlich 1/Wurzel(2) bzw. -1/Wurzel(2) als Lösung und nicht 0,7. Wenn Du so ungenau bist, schreibe auf jeden Fall nicht "=" sondern das ungefähr Zeichen.
Bei f```(x) hast Du die Überprüfung gemacht und Dir durch die Achsensymmetrie arbeit erspart. Aber den Wendepunkt bestimmst Du, indem Du die Nullstelle der 2. Ableitung in die Ausgangsfunktion einsetzt.
Also f(1/Wurzel(2)) bzw. f(-1/Wurzel(2)).
[Wenn Dir 1/Wurzel(2) nicht gefällt, kannst Du es natürlich zu Wurzel(2)/2 umformen. Dann hast Du eine rationale Zahl im Nenner.]

Ja Achsen- oder Punktsymmetrie gehört noch in eine vollständige Kurvendiskussion.
Außerdem: Verhalten im Unendlichen, monotonie, Definitionsbereich, Wertebereich. (Aber ich weiß nicht, ob Ihr das jetzt konkret machen sollt. Nur von der Überschrift her wäre es möglich, muss aber nicht.)

Zitat:
Bei den Extrempunkten weiß ich nicht, ob Du echt so ungenau sein darfst.

 Schuldigung mir fällt gerade auf, dass ich mich hier vertan habe. Du hast ja mit der 2. Ableitung Wendepunkte und nicht Extrempunkte ausgerechnet.

Also für den Extrempunkt (es gibt nur einen, wie Du richtig hattest, aber ich Dich leider etwas verwirrt habe.)
Berechne f(x) an der Stelle 0 also f(0)
f(0)=e^-0^2=1.

Dir fehlt aber hier noch, ob es ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.

Bei den Wendepunkten weiß ich nicht genau, was Du gemacht hast.;)
Den schwereren Teil mit 1/Wurzel(2) hattest Du schon richtig. [Aber da habe ich Dich ja etwas verwirrt.:(]
Da musst Du nur f(1/Wurzel(2)) in die Funktion einsetzen und die konkreten Punkte berechnen.

Zu den Grenzwerten:
Anschaulich ist das mit einer großen Zahl, wie vielleicht 1000.
Mathematisch ist das aber noch nicht ganz fertig.
Du hast e^-x^2
das kannst Du zu 1/e^x^2 umformen und hier sieht man dann etwas mathematischer begründet, dass je größer der Betrag von x ist desto kleiner die Zahl ist.
(eine negative Zahl ist ja nach dem Quadrieren auch positiv.) Der Nenner wächst also ins unendliche und somit der gesamte Bruch Richtung 0.)

Definitionsbereich ist einfach der Bereich, den Du nutzen darfst, die Funktion also definiert ist.
Hier hast Du einfach nur x Element der reellen Zahlen. Wenn x im Nenner steht, musst Du darauf achten, dass der Nenner ungleich 0 ist oder, dass bei einer log(x) Funktion x>0 ist und bei eine Wurzelfunktion Wurzel(x) x=>0.

Für die Monotonie guckst Du Dir die erste Ableitung an.
Der Graph steigt monoton in dem Bereich, wo die erste Ableitung >=0 ist und fällt Monoton in dem Bereich, wo die erste Ableitung <=0 ist.

Die Ableitungen sind alle richtig.
Die Berechnung von Extrempunkten und Wendepunkten teilt sich in drei Schritte.
Der 1. Schritt von Dir ist richtig. Du hast die 1. Ableitung für Extrempunkte und die 2. Ableitung für Wendepunkte mit 0 gleichgesetzt.
Du hast da einen Wert für x rausbekommen. Dieser ist wichtig für Dich, weil Du ihn später noch brauchst.
Der 1. Schritt ist auch die notwendige Bedingung. Damit ein Graph diese Eigenschaft haben kann, ist dieses Bedingung notwendig.
Der 2. Schritt ist nun zu zeigen, dass der Graph wirklich diese Eigenschaft hat.
Dafür musst Du eine Ableitung "weiter gehen" und an der gleichen Stelle. (Auf der x-Achse hast Du Stellen und auf der y-Achse Werte. So kann man die namentlich unterscheiden.)
Für Extrempunkte setzt Du also in die 2. Ableitung Deinen x-Wert ein.
Am Beispiel von den Extrempunkten.
f`(x)=-2x*e^-x^2
Du hast richtig gesagt:
0=-2x*e^-x^2
x=0.
Nun setzt Du x= 0 in die 2. Ableitung ein.
f``(x)=(4x²-2)*e^-x^2
f``(0)=4*0²-2*e^-0^2
=-2*e^0
=-2
Die 2. Ableitung ist also ungleich 0. Genauer ist sie kleiner als 0.
Es handelt sich also um einen Hochpunkt.
Das war der 2. Schritt.
Nun folgt der 3. Schritt:
Du weiß: Ich habe einen Hochpunkt an der Stelle 0.
Und welchen Wert hat dieser Hochpunkt?
Dafür setzt Du nun in Deine Ausgangsfunktion x=0 ein.
f(x)=e^-x^2
f(0)=e^-0^2
=e^0
=1.

Dein Hochpunkt hat also die Koordinaten (0/1). So verständlicher?
Auch für die Extrempunkte brauchst Du die 3 Schritte, nur dass Du nun die 2. und die 3. Ableitung statt der ersten und der zweiten nutzt. Außerdem ist dann für Dich nur wichtig, dass die 3. Ableitung ungleich 0 ist.

Als Hilfe ist es auch praktisch, den Graph zu zeichnen oder einen Graphenplotter zu nutzen. Natürlich solltest Du in den Arbeiten etc. den Graph selber zeichnen können.;)