Raute: Seitenlänge a und Höhe h gegeben. e = ? f=?

ja zum beispiel wenn e die Seitenlänge und f die Höhe ist.
Oder aber du schreibst mal die ganze Aufgabe hier rein, damit wir auch mal wissen, was e und f überhaupt sein soll.

Hallo,

shiZZle hat schon Recht, wenn er nach einer ausführlicheren Aufgabenstellung verlangt.
Es stört mich auch öfter hier im Forum, dass man sich die Hälfte der Aufgabenstellungen erahnen muss.

Dank der Überschrift ist es allerdings klar, dass es sich um eine Raute handelt, und dank der hilfreichen Links von matata konnte ich mir erschließen, dass mit e und f wohl die Diagonalen gemeint sind.
In diesem Fall ist es tatsächlich möglich e und f konkret zu bestimmen.

In diesem Zusammenhang möchte ich hier noch einen weiteren nützlichen Link zur Raute ergänzen:

http://www.mathematische-basteleien.de/raute.htm


Es folgen exemplarisch mögliche Rechenwege:

Durch den Satz des Pythagoras und leichte Umformungen kommt man auf folgende Formel:
4a^2 = e^2 + f^2

und offensichtlich gilt

h * a = 1/2 * e * f

Damit hast du 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.

Lassen wir die Einheiten weg und setzen die Zahlen mal ein, dann ergeben sich folgende Gleichungen:

I : 10000 = e^2 + f^2
II: 2400 = 1/2 * e * f

Die untere Gleichung nach f aufgelöst:

f = 4800/e

Dies in die erste Gleichung eingesetzt:

10000 = e^2 + (4800/e)^2 = e^2 + 4800^2/e^2

Auf beiden Seiten mit e^2 multiplizieren:

10000e^2 = e^4 + 4800^2

Substituiere x=e^2 und umsortieren:

x^2 - 10000x + 4800^2 = 0

pq-Formel anwenden

x = 5000 ± sqrt(5000^2 - 4800^2) = 5000 ± 1400

also x = 3600 oder x = 6400.

Rücksubstitution:

Wir verwenden nur die positive Wurzel, da negative Streckenlängen keinen Sinn machen:

e=sqrt(3600)=60 oder e=sqrt(6400)=80

Da sowohl die Addition als auch die Multiplikation kommutativ sind, kann man in der kompletten Rechnung die Rollen von e und f vertauschen.
Wählt man e=60 so ergibt sich f=80.
Wählt man e=80 so ergibt sich f=60.
Meistens nennt man die kürzere Seite f und die längere Seite e.



Alternativ kann man auch den Weg über den Innenwinkel gehen.

Sei alpha ein Innenwinkel. Dann lässt dieser sich über folgende leicht nachvollziehbare Formel errechnen:

h/a = sin(alpha)
also
alpha = arcsin(h/a)
In diesem Beispiel ergibt sich damit ein Innenwinkel von ca. 73,74° bzw. 1,287 im Bogenmaß.

Diesen Winkel kann man dann verwenden, um direkt e und f zu berechnen.
Dies wird anhand des Links den ich gepostet habe recht schön erklärt im Kapitel "Größen der Raute" gleich der 1. Fall.
Hier nochmal der direkte Link zu dem Kapitel:
http://www.mathematische-basteleien.de/raute.htm#Größen der Raute

Dort steht nämlich
e = sqrt(2+2*cos(alpha))*a
und
f = sqrt(2-2*cos(alpha))*a

Setzt man dort die Werte für a und alpha ein, so kommt man auch sehr elegant auf e=80 und f=60.


Ich hoffe ich konnte helfen.

Freundlichen Gruß
André

Danke Thammus. Deine Antwort ist perfekt in jede Richtung: Nachvollziehbar, exakt, präzise. Ab jetzt speichere ich Dich unter Leibnitz ab.

Es gibt viele Wege, die mir da einfallen. Kannst doch aber genauso gut die vorgegebenen Lösungen benutzen :)

Hier ein Beispiel:



Du hast a und h gegeben. Also kannst du die Schnittstelle deiner Höhe h auf der Seiten a, ganz einfach bestimmen:

sqrt(a² - h²) = 14

Das heißt, die Strecke von dem Schnittpunkt von a,h bis zu B ist 36.

Nun kannst du f bestimmen mit 36^2 + 48^2 = f^2

Also f = 60

Weiterhin gilt e^2 = 2*(a^2 - (f/2)^2)

Also e = 80

Habe zweimal Satz des Pythagoras angewendet. War nicht sonderlich schwer oder?