Berechnung einer Pullmoll- Dose
Optimierungsproblem
Eine handelsübliche Pullmoll-Dose hat die Form eines Zylinders mit dem Durchmesser
d =7,5cm und der Höhe h =2cm.
Es soll nun überprüft werden, ob eine Dose mit gleichem Aufbau, aber mit optimierten ( = reduzierten) Materialverbrauch ( =Oberfläche O) hergestellt werden kann.
Zunächst wird die vorliegende Dose aufgetrennt, bzw. der Grundriss der Dose (inkl. Deckel) erstellt:
Skizze
d= 7,5cm d= 7,5cm
2h h
(Dose) = 2cm = 1cm (Deckel)
Bei den folgenden Berechnungen und Überlegungen werden folgende Idealisierungen und Vereinbarungen vorgenommen:
- Die Dicke des Bleches soll als unendlich klein angenommen werden.
- Das Volumen V der Dose wird als konstant angenommen.
- Das Verhältnis von Deckel- und Dosenhöhe (2:1) soll als konstant angenommen und beibehalten werden.
Die Zielfunktion O die, die Oberfläche der gesamten Dose beschreibt, sieht wie folgt aus:
Es handelt sich dabei um eine Funktion mit zwei Variablen.
Um eine Funktion mit nur einer Variablen zu erhalten, benötigt man eine weitere Funktion (mit beiden Variablen), eine Nebenbedingung. Hier für bietet sich die Funktionsgleichung des Volumens V an:
Nun wird Gleichung (2) in Gleichung (1) eingesetzt, so dass unsere Zielfunktion nur noch von der Variablen r abhängt:
Da die Oberfläche optimiert, also reduziert werden soll, ist für die Funktion O(r) eine Extremstelle, ein Minimum, zu suchen. Dafür bilde ich von O(r) die 1. und 2. Ableitung:
Um ein Minimum zu finden, muss die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz von Extremstellen erfüllt sein:
( notwendige Bedingung
( hinreichende Bedingung
d.h., es liegt ein Minimum vor!
Somit erhält man mit r Min = 2,41cm und h Min = 4,84cm eine Dose mit optimierter Oberfläche.
Da die berechneten Werte von der Realität abweichen, benötigt dieses noch eine Interpretation. Zum einen könnten verschiedene Faktoren in der Produktion zu einer anderen Wahl von r und h geführt haben. Zum anderen könnten andere Punkte, wie z. B. Marketing, zu anderen Maßen geführt haben.
x f(x) 0 -530,16 0,1 -530,147434 0,2 -530,059469 0,3 -529,820708 0,4 -529,355752 0,5 -528,589204 0,6 -527,445664 0,7 -525,849735 0,8 -523,726018 0,9 -520,999116 1 -517,593629 1,1 -513,434161 1,2 -508,445312 1,3 -502,551684 1,4 -495,677879 1,5 -487,748499 1,6 -478,688146 1,7 -468,421421 1,8 -456,872927 1,9 -443,967264 2 -429,629035 2,1 -413,782842 2,2 -396,353286 2,3 -377,264969 2,4 -356,442493 2,5 -333,810459 2,6 -309,29347 2,7 -282,816127 2,8 -254,303032 2,9 -223,678787 3 -190,867993 3,1 -155,795253 3,2 -118,385168 3,3 -78,5623392 3,4 -36,2513694 3,5 8,62314009 3,6 56,1365874 3,7 106,364371 3,8 159,381888 3,9 215,264538 4 274,087719 4,1 335,926829 4,2 400,857266 4,3 468,954428 4,4 540,293714 4,5 614,950522 4,6 693,00025 4,7 774,518296 4,8 859,580059 4,9 948,260936 5 1040,63633 5,1 1136,78163 5,2 1236,77224 5,3 1340,68356 5,4 1448,59098 5,5 1560,56991 5,6 1676,69574 5,7 1797,04387 5,8 1921,6897 5,9 2050,70863 6 2184,17605 6,1 2322,16737 6,2 2464,75798 6,3 2612,02327 6,4 2764,03866 6,5 2920,87953 6,6 3082,62129 6,7 3249,33933 6,8 3421,10905 6,9 3598,00584 7 3780,10512 7,1 3967,48227 7,2 4160,2127 7,3 4358,3718 7,4 4562,03497 7,5 4771,2776 7,6 4986,17511 7,7 5206,80288 7,8 5433,23631 7,9 5665,5508 8 5903,82175 8,1 6148,12457 8,2 6398,53463 8,3 6655,12735 8,4 6917,97813 8,5 7187,16235 8,6 7462,75543 8,7 7744,83275 8,8 8033,46972 8,9 8328,74173 9 8630,72418 9,1 8939,49247 9,2 9255,122 9,3 9577,68817 9,4 9907,26637 9,5 10243,932 9,6 10587,7605 9,7 10938,8272 9,8 11297,2075 9,9 11662,9768 10 12036,2106
Tabelle3
Tabelle2
Tabelle1
Diagramm1
f(x)
0,00
-530,16
4,00
3,00
6,00
88,36
0,10
0,10
-530,15
4,00
3,00
6,00
88,36
0,20
0,10
-530,06
4,00
3,00
6,00
88,36
0,30
0,10
-529,82
4,00
3,00
6,00
88,36
0,40
0,10
-529,36
4,00
3,00
6,00
88,36
0,50
0,10
-528,59
4,00
3,00
6,00
88,36
0,60
0,10
-527,45
4,00
3,00
6,00
88,36
0,70
0,10
-525,85
4,00
3,00
6,00
88,36
0,80
0,10
-523,73
4,00
3,00
6,00
88,36
0,90
0,10
-521,00
4,00
3,00
6,00
88,36
1,00
0,10
-517,59
4,00
3,00
6,00
88,36
1,10
0,10
-513,43
4,00
3,00
6,00
88,36
1,20
0,10
-508,45
4,00
3,00
6,00
88,36
1,30
0,10
-502,55
4,00
3,00
6,00
88,36
1,40
0,10
-495,68
4,00
3,00
6,00
88,36
1,50
0,10
-487,75
4,00
3,00
6,00
88,36
1,60
0,10
-478,69
4,00
3,00
6,00
88,36
1,70
0,10
-468,42
4,00
3,00
6,00
88,36
1,80
0,10
-456,87
4,00
3,00
6,00
88,36
1,90
0,10
-443,97
4,00
3,00
6,00
88,36
2,00
0,10
-429,63
4,00
3,00
6,00
88,36
2,10
0,10
-413,78
4,00
3,00
6,00
88,36
2,20
0,10
-396,35
4,00
3,00
6,00
88,36
2,30
0,10
-377,26
4,00
3,00
6,00
88,36
2,40
0,10
-356,44
4,00
3,00
6,00
88,36
2,50
0,10
-333,81
4,00
3,00
6,00
88,36
2,60
0,10
-309,29
4,00
3,00
6,00
88,36
2,70
0,10
-282,82
4,00
3,00
6,00
88,36
2,80
0,10
-254,30
4,00
3,00
6,00
88,36
2,90
0,10
-223,68
4,00
3,00
6,00
88,36
3,00
0,10
-190,87
4,00
3,00
6,00
88,36
3,10
0,10
-155,80
4,00
3,00
6,00
88,36
3,20
0,10
-118,39
4,00
3,00
6,00
88,36
3,30
0,10
-78,56
4,00
3,00
6,00
88,36
3,40
0,10
-36,25
4,00
3,00
6,00
88,36
3,50
0,10
8,62
4,00
3,00
6,00
88,36
3,60
0,10
56,14
4,00
3,00
6,00
88,36
3,70
0,10
106,36
4,00
3,00
6,00
88,36
3,80
0,10
159,38
4,00
3,00
6,00
88,36
3,90
0,10
215,26
4,00
3,00
6,00
88,36
4,00
0,10
274,09
4,00
3,00
6,00
88,36
4,10
0,10
335,93
4,00
3,00
6,00
88,36
4,20
0,10
400,86
4,00
3,00
6,00
88,36
4,30
0,10
468,95
4,00
3,00
6,00
88,36
4,40
0,10
540,29
4,00
3,00
6,00
88,36
4,50
0,10
614,95
4,00
3,00
6,00
88,36
4,60
0,10
693,00
4,00
3,00
6,00
88,36
4,70
0,10
774,52
4,00
3,00
6,00
88,36
4,80
0,10
859,58
4,00
3,00
6,00
88,36
4,90
0,10
948,26
4,00
3,00
6,00
88,36
5,00
0,10
1040,64
4,00
3,00
6,00
88,36
5,10
0,10
1136,78
4,00
3,00
6,00
88,36
5,20
0,10
1236,77
4,00
3,00
6,00
88,36
5,30
0,10
1340,68
4,00
3,00
6,00
88,36
5,40
0,10
1448,59
4,00
3,00
6,00
88,36
5,50
0,10
1560,57
4,00
3,00
6,00
88,36
5,60
0,10
1676,70
4,00
3,00
6,00
88,36
5,70
0,10
1797,04
4,00
3,00
6,00
88,36
5,80
0,10
1921,69
4,00
3,00
6,00
88,36
5,90
0,10
2050,71
4,00
3,00
6,00
88,36
6,00
0,10
2184,18
4,00
3,00
6,00
88,36
6,10
0,10
2322,17
4,00
3,00
6,00
88,36
6,20
0,10
2464,76
4,00
3,00
6,00
88,36
6,30
0,10
2612,02
4,00
3,00
6,00
88,36
6,40
0,10
2764,04
4,00
3,00
6,00
88,36
6,50
0,10
2920,88
4,00
3,00
6,00
88,36
6,60
0,10
3082,62
4,00
3,00
6,00
88,36
6,70
0,10
3249,34
4,00
3,00
6,00
88,36
6,80
0,10
3421,11
4,00
3,00
6,00
88,36
6,90
0,10
3598,01
4,00
3,00
6,00
88,36
7,00
0,10
3780,11
4,00
3,00
6,00
88,36
7,10
0,10
3967,48
4,00
3,00
6,00
88,36
7,20
0,10
4160,21
4,00
3,00
6,00
88,36
7,30
0,10
4358,37
4,00
3,00
6,00
88,36
7,40
0,10
4562,03
4,00
3,00
6,00
88,36
7,50
0,10
4771,28
4,00
3,00
6,00
88,36
7,60
0,10
4986,18
4,00
3,00
6,00
88,36
7,70
0,10
5206,80
4,00
3,00
6,00
88,36
7,80
0,10
5433,24
4,00
3,00
6,00
88,36
7,90
0,10
5665,55
4,00
3,00
6,00
88,36
8,00
0,10
5903,82
4,00
3,00
6,00
88,36
8,10
0,10
6148,12
4,00
3,00
6,00
88,36
8,20
0,10
6398,53
4,00
3,00
6,00
88,36
8,30
0,10
6655,13
4,00
3,00
6,00
88,36
8,40
0,10
6917,98
4,00
3,00
6,00
88,36
8,50
0,10
7187,16
4,00
3,00
6,00
88,36
8,60
0,10
7462,76
4,00
3,00
6,00
88,36
8,70
0,10
7744,83
4,00
3,00
6,00
88,36
8,80
0,10
8033,47
4,00
3,00
6,00
88,36
8,90
0,10
8328,74
4,00
3,00
6,00
88,36
9,00
0,10
8630,72
4,00
3,00
6,00
88,36
9,10
0,10
8939,49
4,00
3,00
6,00
88,36
9,20
0,10
9255,12
4,00
3,00
6,00
88,36
9,30
0,10
9577,69
4,00
3,00
6,00
88,36
9,40
0,10
9907,27
4,00
3,00
6,00
88,36
9,50
0,10
10243,93
4,00
3,00
6,00
88,36
9,60
0,10
10587,76
4,00
3,00
6,00
88,36
9,70
0,10
10938,83
4,00
3,00
6,00
88,36
9,80
0,10
11297,21
4,00
3,00
6,00
88,36
9,90
0,10
11662,98
4,00
3,00
6,00
88,36
10,00
0,10
12036,21
4,00
3,00
6,00
88,36
f(x)
f(x)
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
3,10
3,20
3,30
3,40
3,50
3,60
3,70
3,80
3,90
4,00
4,10
4,20
4,30
4,40
4,50
4,60
4,70
4,80
4,90
5,00
5,10
5,20
5,30
5,40
5,50
5,60
5,70
5,80
5,90
6,00
6,10
6,20
6,30
6,40
6,50
6,60
6,70
6,80
6,90
7,00
7,10
7,20
7,30
7,40
7,50
7,60
7,70
7,80
7,90
8,00
8,10
8,20
8,30
8,40
8,50
8,60
8,70
8,80
8,90
9,00
9,10
9,20
9,30
9,40
9,50
9,60
9,70
9,80
9,90
10,00
-530,16
-530,15
-530,06
-529,82
-529,36
-528,59
-527,45
-525,85
-523,73
-521,00
-517,59
-513,43
-508,45
-502,55
-495,68
-487,75
-478,69
-468,42
-456,87
-443,97
-429,63
-413,78
-396,35
-377,26
-356,44
-333,81
-309,29
-282,82
-254,30
-223,68
-190,87
-155,80
-118,39
-78,56
-36,25
8,62
56,14
106,36
159,38
215,26
274,09
335,93
400,86
468,95
540,29
614,95
693,00
774,52
859,58
948,26
1040,64
1136,78
1236,77
1340,68
1448,59
1560,57
1676,70
1797,04
1921,69
2050,71
2184,18
2322,17
2464,76
2612,02
2764,04
2920,88
3082,62
3249,34
3421,11
3598,01
3780,11
3967,48
4160,21
4358,37
4562,03
4771,28
4986,18
5206,80
5433,24
5665,55
5903,82
6148,12
6398,53
6655,13
6917,98
7187,16
7462,76
7744,83
8033,47
8328,74
8630,72
8939,49
9255,12
9577,69
9907,27
10243,93
10587,76
10938,83
11297,21
11662,98
12036,21
Inhalt
Mathematisches Optimierungsproblem:
Eine handelsübliche Pullmoll-Dose hat die Form eines Zylinders mit dem Durchmesser
d =7,5cm und der Höhe h =2cm.
Es soll nun überprüft werden, ob eine Dose mit gleichem Aufbau, aber mit optimierten ( = reduzierten) Materialverbrauch ( =Oberfläche O) hergestellt werden kann. (1459 Wörter)
Eine handelsübliche Pullmoll-Dose hat die Form eines Zylinders mit dem Durchmesser
d =7,5cm und der Höhe h =2cm.
Es soll nun überprüft werden, ob eine Dose mit gleichem Aufbau, aber mit optimierten ( = reduzierten) Materialverbrauch ( =Oberfläche O) hergestellt werden kann. (1459 Wörter)
Hochgeladen
von unbekannt
Schlagwörter
Optionen
0 weitere Dokumente zum Thema "Geometrie und Trigonometrie"
353 Diskussionen zum Thema im Forum
353 Diskussionen zum Thema im Forum
- Trigonometrie - Aufgabe (6 Antworten)
- Zylinder: Radius berechnen (3 Antworten)
- Prisma (2 Antworten)
- Formelsammlung (3 Antworten)
- geometrie (0 Antworten)
- mehr ...
Wenn du dieses Dokument verwendest, zitiere es bitte als: "Berechnung einer Pullmoll- Dose", https://e-hausaufgaben.de/Hausaufgaben/D1425-Geometrie-Berechnung-einer-Pullmoll-Dose.php, Abgerufen 13.10.2024 10:18 Uhr
Es handelt sich hier um einen fremden, nutzergenerierten Inhalt für den keine Haftung übernommen wird.
Es handelt sich hier um einen fremden, nutzergenerierten Inhalt für den keine Haftung übernommen wird.
PASSENDE FRAGEN:
- Trigonometrie - AufgabeIn Oberstdorf befindet sich eine der größten Skiflugschanzen der Welt. Sie wird auch "Himmelsguckloch" genannt. (a) Welchen ..
- Zylinder: Radius berechnenHey, benötige hilfe bei folgender Mathematik Aufgabe: Eine zylinderförmige Dose hat eine Oberfläche von 1570 cm² und eine ..
- PrismaIch brüchte mal hilfe ich brauch von einem Prisma das Schrägbild,Zweitafelbild,Netz,A6 berechnung,Volumen berechnung,..
- Formelsammlungich bräuchte mal ganz dringend eine formelsammlung für geometrie (d.h. volumen- und oberflächen-berechnung von kegel, kugel, ..
- geometriehallo, wir haben projektive geometrie in der 11,klasse kann mir jemand ein buch zu diesem thema empfehlen? danke!
- mehr ...