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Partielle DGL

Frage: Partielle DGL
(3 Antworten)


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Zeige, dass man jede PDGL der Form:

ax^2 + 2b*xy + cy^2 = f mit x = d/dx und y = d/dy

auf folgende Form bringen kann:

#U = F mit # = Laplace Operator.



Bevor ich das jetzt mühevoll anfange durchzurechnen, war meine Idee hier mit Koordinatentransformation zu arbeiten, sodass ich es auf Normalform bringen kann mittels Diagonalisierung der quadratischen Form.

Hätte jemand vielleicht eine andere Idee? Vieleicht eine etwas offensichtlichere?
Frage von shiZZle | am 24.05.2013 - 23:30


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Antwort von v_love | 25.05.2013 - 01:03
was heißt "offensichtlichere"? es ist ja wohl offensichtlich, dass die PDE von einer symmetrische Matrix herrührt.
diese kann man diagonalisieren, also ist es klar, dass die PDE zu einer PDE der Form a*u_xx+b*u_yy=g äquivalent ist. (das ist ein einzeiler ...) für a*b<0 heißt die PDE hyperbolisch, für a*b>0 elliptisch, dann ist sie zur poisson-gl. äquivalent, da man dann a und b auf 1 normieren kann (indem man die Verkettung u(x,y)=v(x/sqrt(a),y/sqrt(b)) betrachtet).


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Antwort von shiZZle | 25.05.2013 - 01:22
Naja einzeiler ist es nur, wenn man bewiesen hat, dass die neue PDE durch die Koordinatentransformation immernoch die selbe Eigenschaft bestitzt wie die alte (bzw. das sie eben äquivalent ist).

Weil bei diesem `Einzeiler` habe ich ein Problem mit folgender Begründung:

Ich nehme am Anfang folgendes an: x = d/dx und y = d/dy

Mit Koordinatentransformation komme ich zu: v^T * A *v = v^T * M^T * D * M * v

wobei D Diagonalmatrix von A und M Transformationsmatrix. Nun gilt ja zu berechnen:

M*v = w

Dann bekomme ich etwa so etwas: a11*x + a12*y = w1 und a21*x + a22*y = w2

Angenommen ich forme dies um nac h x und y. Dann habe ich doch quasi angenommen das meine partielle Ableitung in relation zu einer anderen Ableitung steht. Darf ich das ohne jegliche Begründung? (Ich hoffe du verstehst mein Problem)


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Antwort von v_love | 25.05.2013 - 01:40
man sollte natürlich noch ein passende fkt. definieren, die durch Verkettung mit der ursprünglichen Funktion entsteht und die kettenregel anwenden.

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