Stimmt das so? Grenzwert Fakultäten

Hey Leute,
könnt ihr hier mal drüberschauen ob das so stimmt?

lim n!/n^n = 0
n-> oo

weil n/n * (n-1)/n * ....
* 2/n * 1/n
= 1 * (1-1/n) * .... * 2/n * 1/n

Also Nullfolge < n!/n^n < 1*(1-1/n)* ....* 2/n * 1/n = 0


lim ((n+1)!*n!)/n²*3^n = 0
n->oo

Die Gleichung kann ich wieder umformen in
(Zwischenschritte lasse ich jetzt mal weg):

1* 2/n*3^n * (n²/3^n -2n/3^n + 1/3^n)*...* 4/3^n * 1/3^n

Also Nullfolge < ((n+1)!*n!)/n²*3^n < 1* 2/n*3^n * (n²/3^n -2n/3^n + 1/3^n)*...* 4/3^n * 1/3^n = 0


Die Aufgabenstellung lautete aber "Überprüfe Existenz von Grenzwerten und bestimme sie gegebenenfalls".... Dann kann es doch nicht sein, dass immer ein Grenzwert rauskommt?! Ich vermute, dass sich in meinen Überlegungen irgendwo ein Fehler eingeschlichen hat. Ich weiß nur nicht wo