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Gleichung lösen

Frage: Gleichung lösen
(2 Antworten)

 
Folgende Gleichung habe ich:

(x-5)(x-1) = sqrt(-x²+x-0.75)
x²-6x+5 = sqrt(-x²+x-0.75)

Nur für den Hintergrund: Ich soll die Schnittstellen der Parabel y= (x-5)(x-1) und dem Kreis -y² = (x-0.5)² - 1 rausfinden.
Die eine Wurzelgleichung, die ich mit der anderen gleichsetze, ist die erste Schnittstelle. Wenn ich vor der Wurzel noch ein Minus setzen würde und diese mit der Parabelgleichung gleichsetzen würde, kriege ich die 2. Schnittstelle raus.

Aber ich schaff es nicht nach x umzustellen!

Am Ende nach vielen Umformungen komme ich auf die Gleichung: x³-10x²+34x-24.75 = 0. Dort kann ich aber keine Polynomdivision anwenden, bzw. das Horner-Schema, weil ich durch Probieren keine Nullstelle rausbekomme.

Kann mir jemand helfen? Ich kann die Gleichung gar nicht lösen, egal auf welchem Wege!
GAST stellte diese Frage am 03.11.2012 - 01:22


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Antwort von DeinTutor (ehem. Mitglied) | 03.11.2012 - 10:29
Ja, bei dem Erstellen der Aufgabe ist mir leider ein Fehler unterlaufen. Es sollte eine biquadratische Gleichung entstehen, also etwas vom Typ ax^4 + bx^2 + d = 0.

Das passiert leider nicht, es bleibt ein Term mit x^3 im Polynom zurück. Eine realistische Möglichkeit, das entstehende Polynom analytisch zu lösen, sehe ich daher leider nicht. Es gibt zwar eine Formel für Nullstellen allgemeiner Polynome vom Grad 4 - doch diese Formel (http://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung#Allgemeiner_Fall) ist unheimlicher als die Zombieaufgabe. Raten der Nullstellen scheidet leider auch aus, da es sich bei ihnen nicht um rationale Zahlen handelt.

Wichtig ist hier nur, zu erkennen, daß man die Nullstellen dieses Polynoms sucht. Da iterative Verfahren in der Vorlesung nicht behandelt wurden, würde ich dann dieses Polynom einfach mit dem Computer plotten und die x-Werte der Lösung ablesen. Die y-Werte sind ja wieder leicht zu beschaffen.

Dein Polynom kann allerdings nicht richtig sein. Es hat nur eine reelle Nullstelle, es müssen jedoch zwei sein. Um das einzusehen, solltest du erst eine Skizze erstellen. Da sieht man, daß Kreis und Parabel zwei Schnittpunkte besitzen.


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Beiträge 0
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Antwort von DeinTutor (ehem. Mitglied) | 03.11.2012 - 10:56
Ach was soll`s. Ich ändere die Aufgabe einfach ab:
Die Parabel ist jetzt
y = (x+1)(x-1)

Der Kreis einfach der Einheitskreis:
1 = x^2 +y^2

Dann geht`s auf jeden Fall. Aber unbedingt die Skizze anfertigen, bevor du rechnest!
Ich habe die Online-Fassung des Übungszettels auch rasch aktualisiert, so daß zumindest die bescheid wissen, die sich das Teil jetzt erst runterladen.

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