Orthogonale Trajektorien berechnen
Frage: Orthogonale Trajektorien berechnen(3 Antworten)
Berechnen Sie die ortho- gonalen Trajektorien zu der Kurvenfamilie {(x, y) ; y^2 + (sin x)^2 = c} mit c ∈ R+. So die (Haupt-) Trajektorie berechnet. y(x) = k*tan(x) mit k aus R Problem bei der ganzen Sache ist aber, dass ich einige Definitionslücken habe. 1. Einmal durch y(x) geteilt, also den Fall für y(x)=0 ausgeschlossen 2. Einmal durch sin(2x) geteilt, also x ungleich n*pi mit n aus Z ausgeschlossen 3. Jetzt habe ich auch noch die Nullstellen von tangens zu betrachten. Wie finde ich bei den ganzen Fällen noch alle Trajektorien? |
| Frage von shiZZle | am 22.10.2012 - 20:21 |
| Antwort von v_love | 22.10.2012 - 22:28 |
keine ahnung, was du genau gerechnet hast, das nach y aufzulösen ist aber umständlich. die menge ist eine Umf des R³ (für c<>1), also ist grad F mit F(x,y)=y²+sin²(x) senkrecht auf der bahnkurve. frage ist, was für c=1 passiert: da kann man dann i.a. nicht mit von der orthogonalen trajektorie reden. |
| Antwort von shiZZle | 22.10.2012 - 22:34 |
Wir haben in der Vorlesung ein Verfahren dafür kennen gelernt. Das folgendermaßen funktioniert: 1. Funktion nach c auflösen 2.Man nehme an y = y(x) (oder x = x(y)) und schreibe die Differentialgleichung, sodass das c wegfällt und das ganze differenziert = 0 dort steht 3.Man ersetze y(x) durch Y (x) und y′(x) durch −1/Y ′(x): 4. Und jetzt wird das Ding gelöst. (Stammfunktion bilden) Dann kriegt man für die Trajektorien: c = y/tan(x) |
| Antwort von v_love | 22.10.2012 - 23:19 |
gut, dann hast du 1) irgendwo ein betrag verloren, 2) die ausnahmestellen sind kein problem, kann man alles separat betrachten, z.b. ist senkrechte zu R x {0} bekannt. |
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