Integral mithilfe von Polarkoordinaten

Hallo allerseits,


nur eine verständnisfrage zur folgenden aufgabe:

Nutzen Sie Polarkoordinaten, um das folgende Integral über den Oktanten
D = {(x,y,z) : x>=0, y>=0, z>=0, x^2 + y^2 + z^2 <= R^2} zu berechnen:

int((x^2+y^2+z^2)xyz)dzdydx

umgeformt:
int((r^2*cos^2(phi) + r^2*sin^2(phi) + z^2)r^3*cos(phi)*sin(phi)*z)dzdrdphi

nun zu den integrationsgrenzen:
da x,y,z >= 0 sein müssen, ist die funktion nur im 1. oktanten definiert, d.h. wir wissen schon mal, dass 0 <= phi <= pi/2 sein muss.
da r der radius auf der x-y-ebene ist (stimmts?), können wir ja x^2 + y^2 = r^2 setzen. und es gilt 0 <= r <= R, da R der außenradius ist.
und schließlich wird r^2 für x^2 + y^2 eingesetzt:
r^2 + z^2 = R^2 --> z = sqrt(R^2 - r^2)
d.h. 0 <= z <= sqrt(R^2 - r^2)

ist soweit alles richtig? ich bekomme übrigens als endergebnis 0 heraus.