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Mengen

Frage: Mengen
(1 Antwort)


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Hatte die Aufgabe glaube ich schonmal gepostet:

Es seien A,B Mengen, A ungleich leerer Menge.
Zeigen Sie, dass eine injektive Abb. von A nach B dann und nur dann existiert, wenn eine surjektive Abb von B nach A existiert: (habs versucht in Textformat, da es hier keinen Matheeditor gibt)

Vor: A,B Mengen mit A ungleich leerer Menge

Beh: Es gibt eine injektive Abb f: A --> B

<=> es gibt eine surjektive Abb g: B --> A

Bew: "=>" sei f: A-->B injektiv

Da A ungleich leerer MEnge -> Es gibt ein z aus A

definiere g: B-->A

g(x) = {y, falls es ein y Element aus A, sodass
f(y) = x, z sonst. }

Dann ist g surjektiv, denn

Für alle y€A gilt g(f(y)) = y



"<=" sei g:B-->A surjektiv
Für alle y€A gibt es ein x€B, sodass g(x) = y

definiere: f: A-->B mit x -> f(x)=y

Z.z.: f ist injektiv:

seien x_1,x_2 €A

f(x_1) soll gleich f(x_2)

=> f(g(x1)) = f(g(x2))

=> x1 = x2

Geht das so? o.O

€ = Element aus
Frage von shiZZle | am 11.09.2011 - 21:47


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Antwort von v_love | 11.09.2011 - 22:16
"g(x) = {y, falls es ein y Element aus A, sodass
f(y) = x, z sonst.
}"

kann man kürzer fassen.

"definiere: f: A-->B mit x -> f(x)=y"

kann man so nicht schreiben.
was man hier braucht ist folgende funktion: f: A-->B, f(y)=x.

"seien x_1,x_2 €A

f(x_1) soll gleich f(x_2)

=> f(g(x1)) = f(g(x2))

=> x1 = x2"

sollte entsprechend auch überarbeitet werden.

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