Mengen

Hatte die Aufgabe glaube ich schonmal gepostet:

Es seien A,B Mengen, A ungleich leerer Menge.
Zeigen Sie, dass eine injektive Abb. von A nach B dann und nur dann existiert, wenn eine surjektive Abb von B nach A existiert: (habs versucht in Textformat, da es hier keinen Matheeditor gibt)

Vor: A,B Mengen mit A ungleich leerer Menge

Beh: Es gibt eine injektive Abb f: A --> B

<=> es gibt eine surjektive Abb g: B --> A

Bew: "=>" sei f: A-->B injektiv

Da A ungleich leerer MEnge -> Es gibt ein z aus A

definiere g: B-->A

g(x) = {y, falls es ein y Element aus A, sodass
f(y) = x, z sonst. }

Dann ist g surjektiv, denn

Für alle y¤A gilt g(f(y)) = y



"<=" sei g:B-->A surjektiv
Für alle y¤A gibt es ein x¤B, sodass g(x) = y

definiere: f: A-->B mit x -> f(x)=y

Z.z.: f ist injektiv:

seien x_1,x_2 ¤A

f(x_1) soll gleich f(x_2)

=> f(g(x1)) = f(g(x2))

=> x1 = x2

Geht das so? o.O

¤ = Element aus