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Mengenlehre - Erster Tag im Mathevorkurs

Frage: Mengenlehre - Erster Tag im Mathevorkurs
(22 Antworten)


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So heute war mein erster Tag und ich habe mir auch schon gleich ein paar freiwillige Übungsblätter geschnappt und bin am üben, da mit Mengenlehre nicht besonders gut liegt.


Aufgabe 1: Es sei M eine Menge mit n Elementen. Wie viel Elemente hat die Potenzmenge von M?

Also habe durch ausprobieren herausbekommen: 2^n

LEider weiß ich nicht ganz wie man das beweisen soll. Habe was übers vollständige Induktion gelesen, aber dazu fehlt mir das Wissen. Und da ich nicht gerne von Leuten in anderen Foren etwas lese, frage ich lieber in meinem vertrauten e-hausi nach.



Aufgabe 2: Beschreiben Sie symbolisch folgende Mengen:

(1) Menge der Quadrate natürlicher Zahlen

(2) Menge der Primzahlen

Überlegungen:

(1) M:= {n²} mit n Element aus N

(2) M:= {1,2,3,...n} für n Element aus Primzahlen
Frage von shiZZle | am 07.09.2011 - 18:44


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Antwort von v_love | 07.09.2011 - 18:50
1) möglich, aber einfacher: du hast bei n elemente genau 2 möglichkeiten, nämlich dazuholen oder nicht, also |P(A)|=2^n, wenn |A|=n


2. a) ok, aber n aus N muss als bedingung rein, b) ne, beschreibe die menge als teilmenge von N>1, wo die elemente (nur) durch 1 und sich selbst teilbar sind


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Antwort von shiZZle | 07.09.2011 - 19:08
Kannste mir 1 mal erklären, wo für die ganzen Striche stehen?

Also |P(A)| bedeutet alle Pozentelemente aus A oder? Und |A| bedeutet alle Potenzelemente = n


2a) Würde das so funktionieren:

M = {n² | n Element N}


b) M Element N>1 = {m Element aus M | (1|m) UND (m|m)}

Leider weiß ich nicht wie man das mit dem "NUR" macht.


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Antwort von v_love | 07.09.2011 - 19:11
|B| ist die mächtigkeit von B. bei einer endlichen menge B also die anzahl der elemente von B.

2a) ja.

b) 1|m, m|m brauchst du nicht zu fordern, das ist trivial erfüllt.
was du fordern musst ist, dass es für beliebige n<>1, m (aus N) das nicht gilt.


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Antwort von shiZZle | 07.09.2011 - 20:49
Hmm bei b) weiß ich zwar genau was ich machen muss, nur nicht, wie ich es schreiben soll. Lasse die erstmal so. Komme gerade an anderer Stelle nicht weiter:

Aufgabe 7

Es seien A,B Mengen, f: A-> B, g: B->A, so dass gof = id_A gilt. Welche der folgenden Aussagen sind immer wahr?

- f ist injektiv
- f ist surjektiv
- g ist injektiv
- g ist surjektiv

Erstmal, was ist injektiv und was ist surjektiv? Ich selber glaube, dass es sich um Abbildungen handelt. Verstehe aber nicht ganz was gof bedeutet und die Funktionen dazu.


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Antwort von v_love | 07.09.2011 - 20:56
injektiv heißt: x1,x2 aus A, x1<>x2 -->f(x1)<>f(x2), surjektiv heißt, dass es zu jedem y aus B ein x aus A gibt mit f(x)=y.
f°f ist die komposition von g mit f, die so definiert ist: (g°f)(x)=g(f(x)).

gilt g°f=id_A, so nennt man g die linksinverse zu f bzw. f die rechtsinverse zu g.
(würde zusätzlich f°g=id_B gelten, so nennt man g die inverse von f bzw. f die inverse von g und schreibt f=g^-1 bzw. g=f^-1.
das ist der begriff, der aus der schule bekannt sein sollte; hier wird differenziert ...)

gut, 2 der aussagen sollten wahr sein (muss man beweisen), die anderen beiden sind i.a. falsch (gegenbeispiel nennen)


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Antwort von shiZZle | 07.09.2011 - 21:10
Bisher so weit verstanden (halbwegs). Was ich mich frage, welche Information gibt mir g°f?

Ist es: (g°f)(x)=g(f(x)) ?

Denn wenn ich überlege: Surjektiv bedeutet, dass jedem x aus A ein y aus B zugeordnet ist. Frage mich nur, wie man das Beweisen will o.O? Injektiv finde ich noch schwerer.


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Antwort von shiZZle | 07.09.2011 - 21:14
Habe z.B. das gefunden:

Eine Funktion mit nichtleerer Definitionsmenge A ist genau dann injektiv, wenn f eine linke Inverse hat(wobei die identische Abbildung auf A bezeichnet).

Naja, und das trifft in diesem Fall ja zu, womit f injektiv ist. Doch habe ich das jetzt nur so gefunden. Wie will man das beweisen? o.O? Und kann f auch noch surjektiv sein? Immerhin gibts ja auch bijektiv.


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Antwort von v_love | 07.09.2011 - 21:18
musst einfach nur eins finden, z.b. f: R-->R, x-->x³ ist surjektiv, denn zu y0 aus [0;unendlich) wähle x0=y0^(1/3) und für y0 aus (-unendlich;0) wähle x0=-(-y0)^(1/3), dann ist offensichtlich f(x0)=y0.

injektivität zu testen finde ich persönlich einfacher.
zeigt man bei meinem beispiel so:
seien x1,x2 aus R, dann folgt für x1<x2: f(x1)=x1³<x2³=f(x3), für x2<x1: f(x2)=x2³<x1³=f(x1)


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Antwort von shiZZle | 07.09.2011 - 21:34
Klingt für mich irgendwie unlogisch. Woher nimmst du all diese Annahmen und Werte?
Ich habe auf meinem Blatt hier stehen:

f: A -> B

g: B -> A

g°f = Id_A


Zitat:
Injektiv: seien x1,x2 aus R, dann folgt für x1<x2: f(x1)=x1³<x2³=f(x3), für x2<x1: f(x2)=x2³<x1³=f(x1)


Also überlege ich mal. Seien x1,x2 aus A, dann folgt x1<x2 (ka warum das daraus folgt):

f(x1) = x1³ (wieso hoch drei?)

Wären Funktionen gegeben, könnte ich viel leichter damit umgehen. Aber die Sachen geben mir doch keine Informationen (bisher).


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Antwort von v_love | 07.09.2011 - 21:54
"Woher nimmst du all diese Annahmen und Werte?"

welche annahmen? welche werte? sind ja keine spzeille zahlen, die ich genommen habe, sondern beliebige elemente aus A oder B. und für bel. muss ich das ja auch zeigen ...

"dann folgt x1<x2 (ka warum das daraus folgt)"

es folgt für x1<x2 ...

"f(x1) = x1³ (wieso hoch drei?)"

weil das mein beispiel war, an dem ich zeigen wollte, wie das funktionieren kann.
das keine konkreten funktionen angegeben sind, macht die sache auch nicht wirklich schwieriger.


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Antwort von shiZZle | 07.09.2011 - 22:06
Zitat:
das keine konkreten funktionen angegeben sind, macht die sache auch nicht wirklich schwieriger.


für mich leider schon :-(


ICh weiß das ich dich damit nerve v_love, doch irgendwie fehlt mir da noch diese Vorstellungskraft, um diese Aufgaben zu lösen.


Habe jetzt folgenden Satz:
Zitat:
f heißt injektiv, wenn aus der Gleichheit von Funktionswerten (y-Werten) die Gleichheit der in die Funktion eingesetzten x-Werte folgt.


Könnte ich jetzt auch einfach sagen:

x1,x2 aus R, dann folgt x1 - x2: f(x1) = x1 - x2 = f(x2)

für x2 - x1 gilt: f(x2) = x2 - x1 = f(x1)


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Antwort von v_love | 07.09.2011 - 22:12
ne, ich weiß auch nicht, was du damit willst.

falls du die aussage des satzes formalisieren willst, dann geht das so:
f(x1)=f(x2) -->x1=x2 für alle x1,x2 aus A.

das ist äquivalent zu: x1,x2 aus A, x1<>x2 -->f(x1)<>f(x2), was vorher genannt habe.

die erste version eignet sich vielleicht ein wenig besser, um die injektivität von f zu zeigen.


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Antwort von shiZZle | 07.09.2011 - 22:20
Hmm also habe mir das nochmal durchgelesen. Du definierst ja f: R->R durch x->x³

wenn ich das jetzt mache: f: A->B, x-->y³

Sei x1,y1 aus R, folgt für x1 < y1: f(x1) = x1 < y1 = f(y1)

Für B->A , y3 --> x

daraus folgt für y1 < x1: f(y1) = y1 < x1 = f(x1)


Also sonst fehlen mir gleich die Ideen. Hab mir deine Sachen jetzt schon 4 mal durchgelesen und alles mögliche auf ein Blatt gekrizelt.


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Antwort von v_love | 07.09.2011 - 22:26
"wenn ich das jetzt mache: f: A->B, x-->y³"

x-->x³, nicht y³


"Sei x1,y1 aus R, folgt für x1 < y1: f(x1) = x1 < y1 = f(y1)"

besser:

... f(x1) = x1³ < y1³ = f(y1)

"Für B->A , y3 --> x"

und was soll x sein? wie hängt das mit y bzw. y3 zusammen?

die sache ist die: ich habe die funktion f: R-->R, x-->x³, die funktion ist streng monoton steigend, was ich formal durch x1,x2 aus R , x1<x2 -->f(x1)=x1³<x2³=f(x2) zum ausdruck bringe.
und damit ist die funktion natürlich auch injektiv.
(jede streng monotone funktion ist injektiv)


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Antwort von shiZZle | 07.09.2011 - 22:35
wenn x-->x³ muss doch: f(x1) = x1³ < x2³ = f(x2) gelten oder etwa nicht?


"Für B->A , y3 --> x"

Ich meinte y³ ---> y

Doch das ist ja genauso wie A-->B also muss f und g injektiv sein. Oder täusche ich mich o.O? sehe da nämlich kein Unterschied.

sei y1,y2 aus R, folgt für y2<y1: g(y2) = y2 < y1 = g(y2)

Oder verstehe ich das alles falsch haha.


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Antwort von v_love | 07.09.2011 - 22:44
"wenn x-->x³ muss doch: f(x1) = x1³ < x2³ = f(x2) gelten oder etwa nicht?"

wenn x1<x2, dann ja.

"Doch das ist ja genauso wie A-->B"

verstehe ich nicht.

"f und g injektiv"

ja

"sei y1,y2 aus R, folgt für y2<y1: g(y2) = y2 < y1 = g(y2)"

g war doch bei dir die wurzelfunktion, also sind g(y2)=y2 und g(y1)=y1 falsch.

stattdessen: wähle A=R+, B=A
y1,y2 aus A, y1<y2 -->f(y1)<f(y2) (haben wir gezeigt)
außerdem g(f(y1))=y1, g(f(y2))=y2 (g ist umkehrfunktion von f), somit muss g auch streng monoton steigend sein (wäre g nicht streng monton steigend hätten wir einen widerspruch, aus y1<y2 würde dann y1>y2 folgen)


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Antwort von shiZZle | 07.09.2011 - 22:50
Also das g und f injektiv sind haben wir damit dann gezeigt. Sie können aber iummer noch surjektiv und somit auch bijektiv sein oder? Wir müssen also zeigen, dass f nicht surjektiv ist, da in diesem Fall g nicht relevant ist oder?


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Antwort von v_love | 07.09.2011 - 22:54
"Sie können aber iummer noch surjektiv und somit auch bijektiv sein oder?"

natürlich.

"Wir müssen also zeigen, dass f nicht surjektiv ist"

kannst du dir sparen, weil f surjektiv ist.


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Antwort von shiZZle | 07.09.2011 - 23:00
Ja der Kenner wie du sieht das natürlich sofort ^^ War heute meine ersten 90 Minuten unterricht. Fand es sehr anstrengend. Hoffe meine restlichen Fragen werden morgen in der Übungsstunde geklärt.

Wird das immer so schwierig bleiben...Omg


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Antwort von v_love | 07.09.2011 - 23:03
also falls du noch auf der suche nach gegenbeispielen bist, empfehle ich dir f: R0+ -->R, x-->sqrt(x), g: R-->R0+, x-->x²

musst dann folgende sachen nachrechnen:
a) g°f=id_R0+
b) f ist nicht surjektiv
c) g ist nicht injektiv.

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