Randwerte Extrempunkte/limes?wie geht das? (morgen Abi!)

Also wenn ich das richtig verstanden habe, dann meinst du Optimierungsaufgaben (Extremwertaufgaben). Da trifft man dies nämlich sehr häufig.


Ein Beispiel:

Ein rechteckiges Stück Pappe mit den Maßen 20cm x 32cm wird an den Ecken parallel zu den Seiten eingeschnitten und zu einer oben offenen Schachtel gefaltet.


Nun sollst du herausfinden, wie viel man herausschneiden muss, damit man das maximale Volumen der Schachten erhält.


1) Skizze:


2) Extremalbedingung aufschreiben:

V(x) = länge * breite * höhe = l * b * h


3) Nebenbedingung aufschreiben:

h = x
l = 20 - 2x
b = 32 - 2x


4)Definitionsbereich aufstellen (nun solltest du mitlesen ^^)

D = [0;10]

(Wieso 10? Weil die länge nur 20cm ist. Wenn ich an beiden Seiten jeweils 10 cm abschneide, ist die Papa futsch, weil ich dann nur noch zwei teile habe)


5) Zielfunktion bestimmen

V(x) = x * (20 – 2x ) * ( 32 - 2x )

= 4x³ - 104x² + 640x


6) Extremwert bestimmen:

a) lokale Extrema: V`(x) = 0

x1 = 40/3

x2 = 4

=> x1 liegt nicht mehr in Definitionsberech, somit fällt das weg.


b) globale Extrema: V``(x2) = -112

somit Hochpunkt (Maximum)



Zur Ermittlung der globalen Extrema muss jetzt folgen:
- Argumentation mit Verlauf des Graphen

=> Funktion 3. Grades mit Vorfaktor 4; schon Minimum 40/3 außerhalb von D, also erst recht nicht Werte rechts davon; nur diese könnten höher als HP liegen


oder
- Untersuchung der Randwerte

Jetzt setzt du jeweils die Randwerte deines Definitionsbereiches in V(x) ein. Also einmal 0 und einmal 10. Dann vergleichst du diese Werte mit dem Wert V(x2) also dem Wert, der dabei rauskommt, wenn du dein Extrema in die Funktion einsetzt. Hier verdeutlicht:

V(0) = 0

V(10) = 0

V(x2) = V(4) = 1152cm³

(Es hätte auch anders kommen können. z.B.: V(10) = 2000. Dann wäre dies dein Maximaler Wert gewesen...)

Man muss also Quadrate mit der Kantenlänge von 4cm herausschneiden.