Induktion

Hallo,


es gilt:

z^(n+1)=|z|^(n+1)*(cos((n+1)*alpha)+i*sin((n+1)*alpha))
|z|^(n+1)=z^n*z=
|z|^n*(cos(n*alpha)+i*sin(n*alpha))*|z|*cos(alpha)+i*sin(alpha)=
|z^n*z|*(cos(n*alpha+alpha)+i*sin(n*alpha+alpha))=
|z^(n+1)|*(cos[(n+1)*alpha]+i*sin[(n+1)*alpha]) q.e.d.

Hallo,

z ist eine komplexe Zahl: z=a+b*i
Der Betrag von z ergibt sich aus den Rechenregeln für Beträge.
"Alpha" ist der Winkel.

Es handelt sich hierbei um einen Induktionsbeweis für den "Satz von de Moivre". Es gibt allerdings (mindestens) drei mögliche Beweise.
Sie brauchen für den Induktionsbeweis die Additionstheoreme und die Potenzgesetze.

Alternativ folgt der Beweis mit Hilfe der eulerschen Identität.

selbst wenn - es wäre sicherlich sinnvoller, wenn du es selber mal versuchen würdest, z.z. (cos(x)+ i sin(x))^n = cos(nx)+ i sin(nx) (und dafür brauchst du auch keine beträge, nur ein additionstheorem)