linear abhängig

Also, seien 3 Vektoren a,b,c und drei Faktoren c,d,e (aus R).

Die Vektoren a,b,c sind linear abhängig, wenn du Linearkombinationen findest, die auf 0 abbilden.
das heißt: du findest immer c,d,e so dass
c*a+d*b+e*c=0
einzige bedingung: es dürfen nicht alle Faktoren gleich Null sein.
(Das gilt natürlich für eine beliebige Anzahl an Vektoren und Faktoren: c1*a1+...+cn*an=0 )

Linear unabhängig sind sie dann, wenn du für diese Gleichung ( c*a+d*b+e*c=0 ) keine Lösung findest, ohne dass alle {c,d,e}=0 sind.


edit: ups... :>
das passiert wenn man sich das noch mal auf die Schnelle aus dem Netz zusammenbastelt ^^

"Zwei Ebenen sind nur dann linear abhängig, wenn du Parallel sind."

2 ebenen können nicht lineaer abhängig sein

"aber kommt doch immer raus, wenn nur variabeln vorhanden sind?!"

nimm die standardbasis:
{(1|0|0);(0|1|0);(0|0|1)}

nun bildest du die lineaerkombination der 3 vektoren:
(r|s|t)=0, ist nur dann der fall, wenn r=s=t=0 ist, also sind die vektoren lineaer unabhängig (und spannen damit den R³ auf)

und nebenbei kann ich dir noch an dieser stelle deine andere frage beantworte:
die richtungen der achsen sind durch diese basisvektoren festgelegt.
(0|0|1) ist der basisvektor in z-richtung.
das ist alles durch definition so.
man könnte auch (0|0|2) wählen, allerdings ist das kein einheitsvektor (d.h. er hat nicht die länge 1), ist unschön.

andererseits sind z.b. (1|0|0); (1|0|0), (0|0|1) lineaer abhängig.
wieder lineaerkombination bilden: (r+s|0|t)=0, und du siehst, dass r,s nicht notwendigerweise 0 sein müssen. (wähle beispielsweise r=1, dann ist s=-1)

bei der berechnung, ob 3 vektoren lineaer abhängig sind, oder nicht ist es oft einfacher einen vektor als lineaerkombination der anderen zu schreiben (was für den fall, dass keiner der vektoren der nullvektor ist, äquivalent zur definition der lineaeren abhängigkeit ist) und dann zu prüfen, ob du zwei skalare r,s, finden kannst, sodass a=r*v+s*w ist, wobei a,v,w die 3 vektoren sein sollen.
du siehst, warum es einfacher ist: aus 3 variablen werden 2.
kannst du keine r,s finden, sind die 3 vektoren lineaer unabhängig.

allerdings wirst du wahrscheinlich nicht 3 vektoren auf lineaere abhängigkeit prüfen müssen.

was eher dran kommen kann ist eine frage wie "sind die geraden parallel", und das sollte man auf den ersten blick sehen. (vektoren vielfache: dann ja; sonst nicht)
lautet die frage "sind die ebenen parallel", so ist es meiner ansicht nach nicht ungünstig erst die normalenvektoren der ebenen zu bestimmen, falls die ebene nicht sowieso schon in der entsprechenden form gegeben ist. (wobei du da natürlich noch über den schnitt gehen kannst, womit die untersuchung der lineaeren abhängigkeit komplett übergangen wäre)