Vektorräume und Unterräume

"det(mxn * nxm) = 0 (hatten wir irgendwo mal bewiesen)

=> keine Inverse => keine Identitätsmatrix"


schlecht, det von mxn matrizen ist nicht definiert, von inversen ist hier keine rede.

die definition von V ist auch miserabel.
woher soll man denn wissen, was X ist?
ich nehme an, dass X eine feste matrix ist, sodass das produkt AX definiert ist.
(sonst beliebig)
dann ist die aussage V VR klar falsch: seien A1,A2 aus V, dann (A1+A2)X=2, nicht aus V
ferner muss V nicht mal ein element enthalten ...

(4) ist auch ganz einfach: die 0 matrix hat spur 0, damit ist U nicht leer, ferner ist die summe von matrizen mit spur 0 eine matrix mit spur 0 (folgt sofort aus def. von matrixaddition) und multiplikation mit einem r aus R ändert die spur auch nicht.

5) ist vielleicht etwas kniffliger (aber auch nicht sehr schwer ...)
betrachte die n komponenten der gleichung a1*x1+...+an*xn=0, mit a1,...,an aus R.
wende dann die dreiecksungleichung an, dann kann man die voraussetzung anwenden.
beachte dabei: wenn der entsprechende koeffizient 0 ist, hast du nur <= abschätzung, ist er aber <>0 so hast du eine echt größer bzw. kleiner abschätzung und kannst das so zum widerspruch 0=y<>0 (mit einem y aus R) führen.
(eventuell hilft es auch, das ganze zuerst für n=2 zur veranschaulichung zu beweisen)