Aufleiten- Partielle Integration

aus der Integraltafel:
Int{ ln(x) }dx = x(ln(x) - 1)


Int{ (ln(x))^2 }dx = x(ln(x))^2 - 2x ln(x) + 2x

allgemein:
Int{ (ln(x))^n }dx = x(ln(x))^n - n * Int{ (ln(x))^(n-1) }dx

für x > 0 und n ungleich -1

versuchs mal durch partielle Integration (keine Ahnung, ob es wirklich einfacher wird ...
einfach mal ausprobieren):
u = ln(x)
u` = 1/x
v` = ln(x)
v = x(ln(x) - 1)

und dann: (u * v) - Int{ u` * v }dx

(ln(x) * x(ln(x) - 1)) - Int{ u` * v }dx

das neue Integral, das zu lösen wäre (mal schauen, ob es einfacher wird):
Int{ u` * v }dx = Int{ 1/x * x(ln(x) - 1) }dx = Int{ ln(x) - 1 }dx
Int{ ln(x) - 1 }dx = x ln(x) - 2x

warum:
Int{ ln(x) - 1 }dx = Int{ ln(x) }dx - Int{ 1 }dx = x(ln(x) - 1) - x = x ln(x) - 2x

also hat man dann folgendes:
(ln(x) * x(ln(x) - 1)) - (x ln(x) - 2x)

kannst ja mal zusammenfassen und schauen, ob das gleich wie ob raus kommt ;-)