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untersumme=obersumme ?

Frage: untersumme=obersumme ?
(1 Antwort)


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HEY

ich habe ein ziemliches Problem mit Mathe und hoffe das mir hier jemand helfen kann, weil ich total am verzweifeln bin....
"Bei der Verwendung durch Untersumme ergibt sich der gleiche Grenzwert wie bei der Verwendung der Obersumme...am Beispiel von f(x)= x³ in [0,1] und [0,x]

ich hoffe hier kann ir jemand weiterhelfen
VIELEN DANK schon ma im vorraus ;)
Frage von enilA92 (ehem. Mitglied) | am 24.01.2010 - 10:36

 
Antwort von GAST | 24.01.2010 - 12:41
versuchen wir´s für den allgemeinen fall.

die berite der rechtecke sei h.

somit: U(h)=h*f(0)+h*f(h)+f(2h)+...+f(x-h)=h(f(0)+f(h)+f(2h)+...+f(x-h))=h(0+h³+2³h³+...+(x-h)³)=h^4(0+1³+2³+...+(x/h-1)³)

mit summe k³ von k=0 bis x/h-1=(x/h-1)²*(x/h)²/4 kannst du das vereinfachen,
dann h-->0.
du siehst aber jetzt schon, dass h^4*(x/h)^4/4 der dominante teil ist, und das ist gleich x^4/4, der grenzwert der untersumme.

für die obersumme gilt analog: O(h)=h^4(1³+2³+3³+...+(x/h)³)
du siehst, dass O(h)>U(h), h aus R ist, im grenzfall aber sind sie gleich. wieder die genannte beziehung anwenden, h-->0, und es kommt x^4/4 heraus.

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