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Integralrechnung Übungsaufgabe

Frage: Integralrechnung Übungsaufgabe
(13 Antworten)


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Hallo Ich habe eine Aufgabe zum Thema Integralrechnung aufbekommen.

Nummer a b und c konnte ich eigenständig lösen, jedoch habe ich bei d und e Probleme.
Meine Lösungen bisher sind:
b.)
S Untersumme 5 = 1,56
S Obersumme 5 = 1,76
=> 1,56<A<1,76

c.)
S Untersumme 10 = 1,615
S Obersumme 10 = 1,715
=> 1,615<A<1,715

Kann mir jemand bei den Teilaufgaben d und e helfen?

VIELEN DANK IM VORRAUS!
(leider konnte ich das Bild nicht richtigrum drehen; Sorry)
Frage von timo________10 | am 28.08.2020 - 16:43


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Antwort von v_love | 28.08.2020 - 20:13
d) funktioniert genau so wie b) und d) -- nur, dass man n statt 5 bzw. 10 verwendet und den Hinweis beachtet. Poste mal bitte deine Rechnung, dann kann man eher helfen.

e)Gleich bis auf 5 Nachkommestellen bedeutet (im weiteren Sinne), dass die Differenz der Terme kleiner als 1/10^5 ist. Bilde also die Differenz, Obersumme-Untersumme. Wann ist diese kleiner als 1/10^5, d.h. ab welchem n?


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Antwort von timo________10 | 29.08.2020 - 10:09
Bei d habe ich bisher leider keine Rechnung... Könntest du mir zeigen, wie das funktionert?

DANKE


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Antwort von v_love | 29.08.2020 - 10:14
Die Rechnung zu b) bzw. c) meinte ich, da d) ähnlich funktioniert.


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Antwort von timo________10 | 29.08.2020 - 10:25
Achso okay.

Hier einmal meine Rechnungen:
b.)
Untersumme S 5 = 0,2(1,96+1,84+1,64+1,36+1) = 1,56
Obersumme S 5 = 0,2(2+1,96+1,84+1,64+1,36) = 1,76 => 1,56<A<1,76

c.) Untersumme S 10 = 0,1(1,99+1,96+1,91+1,84+1,75+1,64+1,51+1,36+1,19+1) = 1,615
Obersumme S 10 = 0,1(2+1,99+1,96+1,91+1,84+1,75+1,64+1,51+1,36+1,19) = 1,715
=> 1,615<A<1,715


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Antwort von v_love | 29.08.2020 - 10:36
Zitat:
Untersumme S 5 = 0,2(1,96+1,84+1,64+1,36+1) = 1,56
Obersumme S 5 = 0,2(2+1,96+1,84+1,64+1,36) = 1,76 => 1,56<A<1,7


U_n=1/n*(f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+...+f(n/n))

Diesen Term mal ausrechnen


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Antwort von timo________10 | 29.08.2020 - 10:48
U_5 = 1/5*(1/5+2/5+3/5+4/5+5/5) = 0,6


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Antwort von v_love | 29.08.2020 - 10:57
Nein, du solltest erst f(1/n), f(2/n), etc. ausrechnen. z.B. f(1/n)=2-(1/n)²


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Antwort von timo________10 | 29.08.2020 - 21:05
Soll ich für n immer 5 einsetzen?


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Antwort von v_love | 29.08.2020 - 22:07
Nein, das ist ja der Witz an der Sache: n ist beliebig.


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Antwort von timo________10 | 30.08.2020 - 11:06
Es tut mir echt leid. Aber ich verstehe das jetzt alles nicht. Meinst du mit ausrechnen, dass ich die Terme alle zusammenfassen soll?
Weil wenn ich für n nichts einsetzen soll, dann kann ich ja eigentlich auf kein Ergebnis kommen... 🤔


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Antwort von v_love | 30.08.2020 - 11:38
Nun, um auf das gesuchte Ergebnis zu kommen, musst du den Term, U_n=1/n*(f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+...+f(n/n)), vereinfachen.

Ausrechnen bedeutet in diesem Fall nicht, dass du ein konkretes Ergebnis am Ende erhälst, sondern eben den gesuchten Ausdruck für die Untersumme


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Antwort von timo________10 | 30.08.2020 - 13:58
U_n = 1/n*(f(1/n +f(2/n)+f(3/n)+f(4/n)+f(1) = 1/n*(2-(1/n)²+2-(2/n)²+2-(3/n)²+2-(4/n)²+2-1²
= -2/n*(1/n² + 2/n² +3/n² + 4/n² + 1)
= -2*(1²+2²+ 3²+4²+1*n)

Meinst du so?


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Antwort von v_love | 30.08.2020 - 18:18
Ok, das sieht schon mal nicht so schlecht aus.

Leider hast du nur die Terme zwischen f(4/n) und f(1) weggelassen und einige Rechenfehler eingebaut.
Zunächst ist U_n=1/n*(2-(1/n)²+2-(2/n)²+2-(3/n)²+2-(4/n)²+...+2-1²)

Die Auslassungspunkte stehen für alle Terme "dazwischen", es sind n-5 Stück. (Für n=5 sind es also 0, für n=10 sind es 5 Stück)

Weiter fassen wir alle 2er zusammen zu 2*n (da die 2 n mal auftaucht) und beachten das Potenzgesetz (a/b)²=a²/b². Es ist also z.B. (2/n)²=4/n² und nicht wie bei dir 2/n².

Mit dem Wissen, kann du deine Rechnung nun korrigieren.

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