Basis des Bildes einer linearen Abbildung

Hallo zusammen,
habe gerade folgende Aufgabe gerechnet und bin mir nicht sicher ob mir vielleicht ein Denkfehler unterlaufen ist, da es so ziemlich simpel wirkt.
Vielleicht kann jemand ganz kurz drüberschauen und sagen ob irgendwo ein grober Fehler versteckt ist.

Gegeben ist eine lineare AbbildungF: R^3 -> R^4 durch eine Abbildungsmatrix A, die ich hier jetzt nicht unbedingt aufschreiben muss.

Ich weis aus einer vorherigen Aufgabe, dass die Dimension des Kerns von F gleich 1 ist.
Daraus ergibt sich nach der Dimensionsformel, dass Dim Bild F = 2 sein muss oder liege ich da falsch?
Ich muss also nur 2 linear unabhängige Vektoren aus Bild F "nehmen" und habe meine Basis vom Bild, richtig?

Vielen Dank für die Mühe,
Benni