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Basis des Bildes einer linearen Abbildung

Frage: Basis des Bildes einer linearen Abbildung
(2 Antworten)


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Hallo zusammen,
habe gerade folgende Aufgabe gerechnet und bin mir nicht sicher ob mir vielleicht ein Denkfehler unterlaufen ist, da es so ziemlich simpel wirkt.
Vielleicht kann jemand ganz kurz drüberschauen und sagen ob irgendwo ein grober Fehler versteckt ist.

Gegeben ist eine lineare AbbildungF: R^3 -> R^4 durch eine Abbildungsmatrix A, die ich hier jetzt nicht unbedingt aufschreiben muss.

Ich weis aus einer vorherigen Aufgabe, dass die Dimension des Kerns von F gleich 1 ist.
Daraus ergibt sich nach der Dimensionsformel, dass Dim Bild F = 2 sein muss oder liege ich da falsch?
Ich muss also nur 2 linear unabhängige Vektoren aus Bild F "nehmen" und habe meine Basis vom Bild, richtig?

Vielen Dank für die Mühe,
Benni
Frage von Der_Benni (ehem. Mitglied) | am 29.12.2009 - 14:13

 
Antwort von GAST | 29.12.2009 - 16:06
im zweifelsfall solltest du noch LH(v,w)=bild F zeigen (v,w sind die basisvektoren), es sei denn, du kennst einen satz, aus dem das sofort hervorgeht, z.b.
folgender: "ist V vektorraum mit dim(V)=n und B=(a1,...,an) mit a1,...,an lineaer unabhängig. dann LH(a1,...,an)=V und B basis von V" (beruht im wesentlichen auf basisergänzung, was du kennen solltest)


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Antwort von Der_Benni (ehem. Mitglied) | 29.12.2009 - 18:25
Hey, danke für die Antwort, ja solch einen Satz haben wir behandelt ich denke mal dann brauch ich den angesprochenen "Beweis" nicht mehr.
Danke, Gruß
Benni

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