ker(f) = im(f) Stimmt mein Beweis?

Hey Leute,

kann hier mal jemand drüber gucken, ob das so stimmt?

Aufgabe: Sei V endlichdimensionaler Vektorraum.

Zu zeigen: Es gibt genau dann eine lineare Abbildung
f: V => V mit ker(f) = im(f), wenn dim(V) gerade ist.

Beweis:
"=>" Es soll gelten: ker(f) = im(f) Zu zeigen: V ist gerade.
Die Dimensionsformel besagt dim V = dim ker(f) + dim Im(f)
Da aber gilt ker(f) = Im(f) folgt, dass dim ker(f) = dim Im(f)
=> dim V = dim ker(f) + dim ker(f) = 2 dim ker(f)
=> dim (V) ist gerade!

"<=" Es soll gelten: dim(V) ist gerade. Zu zeigen: ker(f) = Im(f)
Sei B={v1,...,v2n} eine Basis von V.
=> B`={v1,...,vn} ist Basis von VIm(f)
Erweitern ergibt Basis von V: B``={v1,...,vn,f(v1),...,f(vn)}
Durch umordnen erhalte ich: B``={v1,f(v1),...,vn,f(vn)}
=> {v1,...,v2n}
=> ker(f) = im(f)

Alternativer Ansatz:
Sei B={v1,...,vn} eine Basis von ker(f) c V.
Ergänze diese zu einer Basis von V:
B`={v1,...,vn,vn+1,...,v2n},, wobei 2n=dim(V).
nach der Dimensionsformel folgt:
dim(V) = dim(ker(f))+ dim(im(f))
2n = n + dim(im(f))
n = dim(im(f))
=> ker(f) = im(f)

Eine Kommilitonin von mir meinte: Ich setze bei der Rückrichtung in beiden Beweisen indirekt voraus, dass ker(f)=im(f). Wo sie Recht hat, hat sie Recht.
Darf ich das trotzdem so aufschreiben? Oder gibt`s noch irgendeinen Trick?
Vielen Dank für eure Hilfe!