Komplexe, positiv definite Matrix ist hermitisch

per definition erfüllt eine hermitesche matrix folgende gleichung: <A*x;x>=<x;konj.A^t*x> mit dem eigenvektor x und dem standardskalarprodukt <.;.> auf C.

wende die def. vom eigenwert an,
beachte die regeln <r*x;x>=r*<x;x> und <x;r*x>=konj. r*<x;x> und du kommst auf Im(r)=0, weshalb auch definitheit meist nur bei hermiteschen matrizen definiert wird.

dann zweiter teil des beweises: positiv definit heißt: konj. x^t*A*x>0 für x<>0. als skalarprodukt von vektoren schreiben und du erhälst r>0.

und aus r>0 folgt mit sicherheit {r aus C|Im(r)=0}

r ist irgendeine komplexe zahl. ist nicht wichtig, welche bedeutung dieser zukommt (zumindest war es für meinen tipp nicht wichtig). wenn du das allerdings rechnest, wirst du feststellen, dass es der eigenwert sein muss.