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Zylinder: Oberfläche berechnen

Frage: Zylinder: Oberfläche berechnen
(3 Antworten)

 
1) Welche zylindrische Dose mit dem Oberflächeninhalt 1dm² hat das größte Volumen?


2) Welches oben offene zylindrische Gefäß mit 1 Liter Fassungsvermögen hat den geringsten Materialverbrauch?

Zu Nummer 1) hab ich folgendes, bin mir aber sehr unsicher:
V = Πr²h = max.
O = 2Πrh + 2Πr² = 1dm²

1 = 2Πr² + 2Πrh |- 2Πr²
1-2Πr² = 2Πrh | /2Πr

h= 1/2Πr - r

----
V = Πr²(1/2Πr-r)
V = r²(Π/2Πr-Πr)
V = Πr²/2Πr - Πr³
V(r) = r/2 - Πr³

V (r)= Πr²/2Πr - Πr³
V`(r) = 1/2 - 3Πr²
V``(r)=-6Πr

0 = 1/2 - 3Πr² | +3Πr²
3Πr² = 1/2 | /3Π
r² = 1/6Π | Wurzel ziehen
r = +-1/√6Π

h= 1/2Πr - r -> h= (√6Π / 2Π ) - 1/√6Π = (3√6Π / 6Π ) - (√6Π / 6Π )
h = 2√6Π / 6Π = √6Π / 3Π
GAST stellte diese Frage am 26.06.2009 - 12:50


Autor
Beiträge 6489
9		 Antwort von Peter | 26.06.2009 - 13:20

äääääääääääääääääääääääääähm jaaaaaaaaaaaaaaaaaa...^^
________________________
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Autor
Beiträge 6266
96		 Antwort von Double-T | 26.06.2009 - 13:26
Schreib halt einfach "pi"...

"pi*r²*h=max" halte ich für eine schlechte Formulierung, aber der Gedanke stimmt.
Ansonsten fehlt zu
"1-2pi*r²=2pi*rh | /2*pi*r"
Noch die Annahme, dass r ungleich null ist.

"r = +- 1/sqrt(6pi)"
Die negative Lösung kannst du unmittelbar streichen. Mit der Begründung: Radius ist nicht negativ.

h = sqrt(6pi)/3pi
finde ich nicht optimal gekürzt
squrt[2/(3pi)] oder 2/sqrt(6pi) würde ich da wählen. Ändert nichts an der Richtigkeit.

Insgesamt fehlt nur die Prüfung, ob es sich wirklich um ein Maximum handelt.
V``(r) = -6pi*r -> V``(1/sqrt(6pi)) < 0
Also liegt ein Maximum vor.

 
 Antwort von GAST | 26.06.2009 - 17:13
ne, die schlussfolgerung ist falsch...


ich habe in der 8.klasse gelernt, dass eine funktion (hier zielfunktion) nicht eindeutig durch eine zuordnungsvorschrift bestimmt ist. das macht den ganzen 2 ten teil deiner rechnung falsch.
darauf solltest du achten, vor allem bei extremwertaufgaben.

dann würden auch folgefehler, wie diese:
"r² = 1/6Π | Wurzel ziehen
r = +-1/√6Π"
nicht passieren

und dann solltest du noch - wie gesagt - nachweisen, dass es ein maximum ist (dafür musst du die vollständige funktion haben, nicht nur die zuordnungsvorschrift) muss ja nicht sein; gibt genügend beispiele, bei denen das nicht so ist.
dafür reicht schon eine leichte änderung deiner zielfunktion aus (z.b. mit -1 multiplizieren)

am besten nimmst du eine bedingung, die hinreichend ist ( f`(x0)=0 und f``(x0)<0 ist NICHT hinreichend für x0 ist maximum)

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