Stetig behebbar und stetig unbehebar

zunächst mal sollte es klar sein, dass die - so definierte - funktion dort (bei deinem beispiel x=1) nicht definiert ist.


die frage ist nun: für welches a ist die funktion
f(x)=(x²+ax+3a)/(x-1) für x ungleich 1 und b aus R für x=1 stetig auf R.

b ist daei eine zahl, die man noch bestimmen müsste

du siehst, wenn wir das so umdefinieren, haben wir die lücke behoben (die funktion ist dann auf ganz R definiert)
stetig behebbar ist eine funktion dann, wenn wir die lücke so beheben können, das die neue funktion stetig ist.
stetig unbehebbar ist sie entsprechend dann, wenn wir die lücke nicht so beheben können, dass die funktion stetig ist.
die funktion ist dann unstetig an der behobenen stelle.
wir sagen dazu auch: stetig behebbar ist äquivalenz tu ersatzfunktion ist stetig.
in dem beispiel wäre f(x)=(x²+ax+3a)/(x-1) für x ungleich 1 und b aus R für x=1 die ersatzfunktion.

"- wenn der Graf bei x=1 eine stetig behebbare def-lücke aufweist, dann müssten nennerpolynom und zählerp. die gleiche NST haben (quasi Xnull =1)"

richtig

"also Z(x)= 1 --> 1 = x² + ax +3a"

und das ist falsch, du hast doch nullstelle gesagt und nicht "einsstelle"
also 0=...

x ist dabei 1 (nach x brauchst du gar nicht aufzulösen)
a ist dann glaube ich -1/4

"(kann man dass so sagen?)"
würde ich nicht sagen.

stetigkeit ist ja nicht da, also kann sie nicht behoben werden