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Epsilon-Delta-Kriterium

Frage: Epsilon-Delta-Kriterium
(7 Antworten)

 
Zeigen Sie durch dieser Anwendung,

die Funktion f: ℝ -> ℝ : x -> x² ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig.

nach Definition ist f: Menge A -> ℝ erst stetig in x0 ∈ A, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle x ∈ D mit | x − x0 | < δ gilt: |f(x) - f(x0)| < ε.

mit beidem kann ich nix anfangen, vllt kann jemand mir helfen. Danke
GAST stellte diese Frage am 05.12.2009 - 10:54


Autor
Beiträge 4080
17
Antwort von S_A_S | 05.12.2009 - 10:56
Und
jetzt das ganze bitte noch Mal ohne die ganzen &# Zeichen.
Man kann nicht alles aus PDFs einfach rauskopieren.

 
Antwort von GAST | 05.12.2009 - 11:00
sorry, wusste nicht, dass der Vorschau anders zeigt, als getippte

also nochmal:

Zeigen Sie durch die Anwendung von e-d-Kriterium,
die Funktion f: R -> R : x -> x² ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig.

nach Definition ist f: Menge A -> R; erst stetig in x0 Element A, wenn zu jedem epsilon > 0 ein delta > 0 existiert, so dass für alle x Element A mit | x - x0 | < epsilon gilt: |f(x) - f(x0)| < delta.

 
Antwort von GAST | 05.12.2009 - 11:11
Mein Ansatz ist so:

|f(x) - f(a)| = |x² - a²|
= |(x+a)(x-a)| < epsilon
<=> |x-a| < epsilon/(x+a)

delta = epsilon/(x+a) richtig?
Damit ist delta von epsilon abhängig und ist die funktion damit stetig ?

 
Antwort von GAST | 05.12.2009 - 11:38
http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Stetigkeit#Beispiele
das ist genau deine funktion ;)

und da natürlich auch http://www.emath.de/Mathe-Board/messages/8/25649.html?1176997529


Autor
Beiträge 0
13
Antwort von Dennis_L (ehem. Mitglied) | 05.12.2009 - 11:55
Soweit ich weiß, gilt auch:

f ist stetig im Punkt x0, wenn der Lim x->x0 f(x)=f(x0) ist.

Also wenn der Grenzwert an dieser Stelle gleich dem Funktionswert ist, dann ist f(x) an der Stelle f(x0) stetig.

Aber was meinst du mit nicht gleichmäßig stetig?

mfg: Dennis

 
Antwort von GAST | 05.12.2009 - 12:12
genau diese e-d-Kriterium beschreibt die Definiton gleichmäßiger Stetigkeit. Dass für alle epsilon > 0 ein delta > 0 existiert, sodass für alle x Element Menge A mit |x-x0| < delta gilt: |f(x) - f(x0) < epsilon.

Bei x² ist es, je weiter rechts man 2 Punkte mit Abstand < delta wählt, desto größer der Abstand der beiden Funktionswerte, was aber dieser Definiton widerspricht.

Ich brauch praktisch eine rechnerische Beweis durch diese Anwendung.

 
Antwort von GAST | 05.12.2009 - 12:37
dein beweis enthält einen kleinen fehler, aber den können wir korrigieren:

sei |x-x0|<delta für delta >0 wähle delta:=epsilon/|x+x0| (ist immer noch größer 0, da epsilon>0)
also |x-x0|<epsilon/|x+x0| -->|f(x)-f(x0)|<epsilon beliebig, das war der beweis.

das argument mit abhängigkeit zieht übrigens nicht.
im allgemeinen ist delta von epsilon abhängig, aber nicht immer.

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