Epsilon-Delta-Kriterium
Frage: Epsilon-Delta-Kriterium(7 Antworten)
Zeigen Sie durch dieser Anwendung, nach Definition ist f: Menge A -> ℝ erst stetig in x0 ∈ A, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle x ∈ D mit | x − x0 | < δ gilt: |f(x) - f(x0)| < ε. mit beidem kann ich nix anfangen, vllt kann jemand mir helfen. Danke |
| GAST stellte diese Frage am 05.12.2009 - 10:54 |
| Antwort von S_A_S | 05.12.2009 - 10:56 |
Und Man kann nicht alles aus PDFs einfach rauskopieren. |
| Antwort von GAST | 05.12.2009 - 11:00 |
sorry, wusste nicht, dass der Vorschau anders zeigt, als getippte also nochmal: Zeigen Sie durch die Anwendung von e-d-Kriterium, die Funktion f: R -> R : x -> x² ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. nach Definition ist f: Menge A -> R; erst stetig in x0 Element A, wenn zu jedem epsilon > 0 ein delta > 0 existiert, so dass für alle x Element A mit | x - x0 | < epsilon gilt: |f(x) - f(x0)| < delta. |
| Antwort von GAST | 05.12.2009 - 11:11 |
Mein Ansatz ist so: |f(x) - f(a)| = |x² - a²| = |(x+a)(x-a)| < epsilon <=> |x-a| < epsilon/(x+a) delta = epsilon/(x+a) richtig? Damit ist delta von epsilon abhängig und ist die funktion damit stetig ? |
| Antwort von GAST | 05.12.2009 - 11:38 |
http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fige_Stetigkeit#Beispiele das ist genau deine funktion ;) und da natürlich auch http://www.emath.de/Mathe-Board/messages/8/25649.html?1176997529 |
| Antwort von Dennis_L (ehem. Mitglied) | 05.12.2009 - 11:55 |
Soweit ich weiß, gilt auch: f ist stetig im Punkt x0, wenn der Lim x->x0 f(x)=f(x0) ist. Also wenn der Grenzwert an dieser Stelle gleich dem Funktionswert ist, dann ist f(x) an der Stelle f(x0) stetig. Aber was meinst du mit nicht gleichmäßig stetig? mfg: Dennis |
| Antwort von GAST | 05.12.2009 - 12:12 |
genau diese e-d-Kriterium beschreibt die Definiton gleichmäßiger Stetigkeit. Dass für alle epsilon > 0 ein delta > 0 existiert, sodass für alle x Element Menge A mit |x-x0| < delta gilt: |f(x) - f(x0) < epsilon. Bei x² ist es, je weiter rechts man 2 Punkte mit Abstand < delta wählt, desto größer der Abstand der beiden Funktionswerte, was aber dieser Definiton widerspricht. Ich brauch praktisch eine rechnerische Beweis durch diese Anwendung. |
| Antwort von GAST | 05.12.2009 - 12:37 |
dein beweis enthält einen kleinen fehler, aber den können wir korrigieren: sei |x-x0|<delta für delta >0 wähle delta:=epsilon/|x+x0| (ist immer noch größer 0, da epsilon>0) also |x-x0|<epsilon/|x+x0| -->|f(x)-f(x0)|<epsilon beliebig, das war der beweis. das argument mit abhängigkeit zieht übrigens nicht. im allgemeinen ist delta von epsilon abhängig, aber nicht immer. |
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