logarithmusfunktion: flächeninhalt berechnen

hallo zusammen

hab in mathe ne hausaufgabe gekriegt die ein wenig kompliziert ist:

es geht um ne funktionenschar aber kA wie ich das t als klein unten an f(x) kriege.
schreibs einfach so ft(x). also net wundern.

ft(x) = x(t-ln x) mit x > 0

Welchen Flächeninhalt haben die Flächen, die die Funktionen der Schar mit der 1.Achse einschließen?

Hinweiß: Ft(x) = -1/4 x²(2ln x-2t-1)

hab jetzt erstmal die nullstelle berechnet und zwar:
ft`(x) = t-[(1*ln x)+(x*1/x)]
= t-ln x-1 = 0
t-1 = ln x
x = e^(t-1)

so müsste doch eigentlich richtig sein. als nächstes jetzt eben den flächeninhalt. da ich die stammfunktion ja schon hab muss ich ja eigentlich nur x = e^(t-1) einsetzen. problem is aber x > 0. die andere nullstelle is also net null sondern ne aymptote zur y achse... muss man also mit lim rechnen. und da blick ich jetzt nimmer ganz durch da meine rechnung dann so aussieht:

e^(t-1)
At(x) = lim [-1/4x²*(2ln x-2t-1]
x->0 x


sind irgendwie komisch aus und ich bin mir net sicher ob des stimmt... wenn ihr mir eventuell weiterhelfen könnt bitte.