Ableitungen bilden

Willst du die Funktion, oder die Ableitung der Funktion gerade auf Stetigkeit prüfen?

Bzw: Willst du zeigen, dass sie Stetig und differenzierbar, oder willst du zeigen, ob sie stetig differenzierbar ist (würde zu einem Widerspruch führen)?

Dann würde ich sagen, dass der Grenzwert von lim h->0 für -cos(1/h) nicht existiert.

Für lim h->0 h²*sin(1/h) sähe das dank des x² anders aus.

Wenn der Grenzwert für den Cosinusteil nicht existiert, hast du das Problem doch gelöst, oder?

Die Ableitung ist an der Stelle null nicht stetig.

es geht doch nicht um die stetigkeit der ableitung, sondern um die existenz der ableitung, und da hast du einen fehler gemacht.
wo es keine ableitung gibt, kann man auch keine hinschreiben.

die ableitung existiert deshalb nicht, weil der differenzenquotient keinen grenzwert für h-->0 hat.
ich komme da auf -2*sin(1/h). sin(1/h) ist nicht stetig.
da wären wir schon beim stetigkeitsbeweis:
da gilt es zwei verschiedene folgen a(n) zu finden,( die gegen 0 konvergieren) sodass die bildfolgen nicht gegen denselben grenzwert konvergieren.
damit wäre nämlich die funktion nach definition divergent.
als folgen könnte man z.b. a(n)=1/n und b(n)=1/[(n+1)(n-1)} nehmen.
die eine bildfolge würde gegen 0, die andere gegen sin(-1).

damit wäre nachgewiesen, dass der grenzwert der funktion nicht existiert, die funktion f(x)=sin(1/x) nicht stetig bei x=0 ist und somit deine funktion nicht differenzierbar bei x=0 ist.

kann aber sicher stetig sein. (was stetiges mit was nicht stetigem multipliziert kann durchaus stetig sein)
es ist -1<=sin(1/x)<=1 für alle x aus R.
d.h. wenn x² gegen 0 läuft (egal ob von links oder rechts),