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Ableitungen bilden

Frage: Ableitungen bilden
(8 Antworten)


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Hi, also ich hab zwei klleine Problemchen....


1. gegeben f(x)=x²sin(1/x) bei x nicht 0 und f(x)=0 bei x=0

davon sollt ich die Ableitung bilden: f`(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) bei x nicht 0 und 0 bei x=0

jetzt soll ich rausfinden, ob die funktion stetig und differenzierbar ist. Mein problem, ich hab den Grenzwert bei 0 links und rechts aufgestellt und da kommt dann folgendes raus:
lim -cos(1/h)+(2xsin...)->vernachlässigbar
h->0
und links das gleiche blos andersrum, jetzt mein problem. wie verhält sich der Cos da, bzw, wa ist die Lösung?
Wenn ich das weiß, hab ich stetigkeit und differenzierbarkeit, denk ich.

2. Sache Induktionsbeweis von

(f*g)^(n)(x)=Summe von k=0 bis n von (n über k)*f^(k)(x)g^(n-k)(x)

Hab absolut keine ahnung wie ich jetzt anfangen soll...
Frage von dh09 (ehem. Mitglied) | am 08.01.2009 - 19:43


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Antwort von dh09 (ehem. Mitglied) | 08.01.2009 - 20:13
aufgabe 2 ist geklärt,
vielleicht gibts ja jetzt noch ein paar schlaue köpfe, die mir bei eins weiterhelfen könnten :D


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Antwort von Double-T | 08.01.2009 - 20:17
Willst du die Funktion, oder die Ableitung der Funktion gerade auf Stetigkeit prüfen?

Bzw: Willst du zeigen, dass sie Stetig und differenzierbar, oder willst du zeigen, ob sie stetig differenzierbar ist (würde zu einem Widerspruch führen)?


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Antwort von dh09 (ehem. Mitglied) | 08.01.2009 - 20:18
die ableitung auf stetigkeit und differenzierbarkeit prüfen... also f`=2xsin(1/x)-cos(1/x)


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Antwort von Double-T | 08.01.2009 - 20:23
Dann würde ich sagen, dass der Grenzwert von lim h->0 für -cos(1/h) nicht existiert.

Für lim h->0 h²*sin(1/h) sähe das dank des x² anders aus.


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Antwort von dh09 (ehem. Mitglied) | 08.01.2009 - 20:25
naja, von h²sin(1/x) is ja gegen 0... nur, ich weiß halt nich, wie ich dann weitermachen soll...


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Antwort von Double-T | 08.01.2009 - 20:26
Wenn der Grenzwert für den Cosinusteil nicht existiert, hast du das Problem doch gelöst, oder?

Die Ableitung ist an der Stelle null nicht stetig.


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Antwort von dh09 (ehem. Mitglied) | 08.01.2009 - 20:30
na ok, dann mal schaun, ob das mein prof auch so sieht^^

Ganz großes Dankeschön!

 
Antwort von GAST | 08.01.2009 - 20:47
es geht doch nicht um die stetigkeit der ableitung, sondern um die existenz der ableitung, und da hast du einen fehler gemacht.
wo es keine ableitung gibt, kann man auch keine hinschreiben.

die ableitung existiert deshalb nicht, weil der differenzenquotient keinen grenzwert für h-->0 hat.
ich komme da auf -2*sin(1/h). sin(1/h) ist nicht stetig.
da wären wir schon beim stetigkeitsbeweis:
da gilt es zwei verschiedene folgen a(n) zu finden,( die gegen 0 konvergieren) sodass die bildfolgen nicht gegen denselben grenzwert konvergieren.
damit wäre nämlich die funktion nach definition divergent.
als folgen könnte man z.b. a(n)=1/n und b(n)=1/[(n+1)(n-1)} nehmen.
die eine bildfolge würde gegen 0, die andere gegen sin(-1).

damit wäre nachgewiesen, dass der grenzwert der funktion nicht existiert, die funktion f(x)=sin(1/x) nicht stetig bei x=0 ist und somit deine funktion nicht differenzierbar bei x=0 ist.

kann aber sicher stetig sein. (was stetiges mit was nicht stetigem multipliziert kann durchaus stetig sein)
es ist -1<=sin(1/x)<=1 für alle x aus R.
d.h. wenn x² gegen 0 läuft (egal ob von links oder rechts),

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