guck mal, was ich gefunden habe. Fragen: Zitat:
1) Welche Schritte gehören alle zu einer vollständigen Kurvendiskussion?
2) Worin besteht der Unterschied zwischen Pol-, Wende-, Null- und Extremstellen?
3) Wie errechne ich die Definitionsmenge udn wofür brauch ich die?
4) Wie bestimme ich die Symmetrie udn was ist das?
5) Wie errechne ich Polstellen udn senkrechte Asymptoten?
6) Wie bestimme ich das Verhalten der Funktion für x-> +/- unendlich? Antworten: Zitat:
1)1.ableitungen
2.definitionsbereich (eventuell wertebereich) und verhalten an definitionslücken
3.symmetrie
4.verhalten im unendlichen
5.nullstellen
6.extremstellen mit monotonie
7.wendestellen
8.skizzieren des graphen
2)definition
sei I teilmenge von R ein offenes intervall und f:I-->R eine funktion mit f(x)=z(x)/n(x)
1.(polstelle): x0 heißt genau dann polstelle, wenn z(x0) ungleich 0 und n(x0)=0 gilt. [x0 nicht aus I]
2.(nullstelle): x0 heißt nullstelle, wenn f(x0)=0 gilt [mit x0 aus I]
3.(lokale extremstelle): wenn in einer beliebig kleinen epsilon-umgebung entweder f(x0) am größten oder am kleinsten ist.
hinreichende bedingung: f`(x0)=0 und VZW von f`(x) bei x0. [x0 aus I]
4.(wendestelle): x0 heißt wendestelle, wenn der graph seine krümmung bei x0 wechselt.
hinreichende bedingung: f``(x0)=0 und f``(x) hat einen VZW bei x0. gilt zusätzlich f`(x0)=0, so ist (x0|f(x0) ein sattelpunkt
(ich bin von gebrochen rationalen funktionen ausgegangen bei 1.)
3)bei wurzelausdrücken radikand größer gleich 0 setzen.
bei gebrochenrationalen funktionen nenner gleich 0 setzen. das liefert die definitionslücken. R ohne definitionslücken ist dann der defintionsbereich
bei logarithmusfunktionen [ln(f(x))] f(x) >0 setzen.
brauchst du bei der kurvendiskussion. def-bereich gibt an, welche x-werte du in die funktion einsetzen kannst.
4)satz: 1.eine funktion f heißt achsensymmetrisch zur geraden x=x0, wenn für alle h aus R gilt: f(x-h)=f(x0+h). sonderfall: achsensymmetrisch zur y-achse: x0=0-->f(h)=f(-h)
2.eine funktion g heißt punktsymmetrisch zu (x0|y0), wenn für alle e aus R gilt: f(x0-e)-y0=y0-f(x0+e)
sonderfall: punktsymmetrisch zum ursprung: x0=0 und y0=0-->
f(-e)=-f(e)
definition: ein teilmenge graphen G1 einer funktion heißt symmetrisch, wenn es durch punktspiegelung an P oder achsenspiegelung an x=x0 deckungsgleich mit dem anderen teil des graphen G2 ist. dabei gilt G1+G2=G.
5)nenner null setzen. falls zähler ungleich 0 (bei dem selben x-wert) ist, hast du ne polstelle. x=x0 ist dann die senkrechte asymptote bzw polgerade
6)sehr allgemein.
ich will dir mal so viele fälle wie möglich aufzählen:
zunächst aber einmal eine definition: ist f(x)=a1x^n+a2x^(n-1)+a3x^(n-2)+...+an (man spricht dann von einem polynom), so heißen a1,a2,a3,...an koeffizienten und a1 heißt leitkoeffizient
1.polynome: fallunterscheidung: leitkeoffizient positiv:
f(x) geht gegen unendlich für x-->unendlich
f(x) geht a)gegen -unendlich für x-->-unendlich, falls der grad von f ungerade ist
f(x) geht b)gegen +unendlich für x-->unendlich, falls der grad von f gerade ist.
leitkoeffizient negativ:
f(x) geht gegen -unendlich für x-->unendlich
f(x) geht a)gegen unendlich für x-->-unendlich, falls der grad von f ungerade ist
f(x) geht b)gegen -unendlich für x-->unendlich, falls der grad von f gerade ist.
2. funktionen der form z(x)/n(x)=f(x)
ist der grad von z(x) höher als der grad von n(x), so geht f(x) gegen +unendlich bzw -unendlich für x-->+-unendlich. um zu schauen obs gegen + oder -unendlich geht musst du die in 1. genannten regeln für polynome anschauen. du betrachtest dabei nur z(x). n(x) ist dafür unwichtig.
ist grad(z(x))=grad(n(x)), dann gilt f(x)=a/b für x-->+-unendlich.
a ist der leitkoeffizient von dem polynom z. b ist der leitkeoffizient von dem polynom n.
ist der grad(z(x))<grad(n(x)), so konvergiert die funktion gegen 0 für x-->+-unendlich
3.exponentialfunktionen:
die exponentialfunktion f(x)=e^x geht gegen unendlich für x-->+unendlich und gegen 0 für x-->-unendlich
4.logarithmusfunktionen:
die natürliche logarithmusfunktion x-->ln(x) mit der definitionsmenge R+ geht gegen +unendlich für x-->+unendlich und gegen -unendlich für x-->-unendlich.
5.gemischte funktionen (aus epx-ln und polynomen).
hier gibts keine allgemeine regel, allerdings musst du folgendes beachten:
die epxonentialfunktion konvergiert am schnellsten. die logarithmusfunktion am langsamsten. das polynom ist in der mitte.
d.h. wenn du sowas hier hast: f(x)=e^(-x)+x, weißt du zwar, dass x gegen unendlich geht (für x-->unendlich), aber e^(-x) geht gegen 0 (nach regel 3.). und nach regel 5. ist e^(-x) der stärkere, also geht die ganze funktion gegen 0, und nicht gegen unendlich (für x-->unendlich)
6.ansonsten gibts noch 2 regeln, die sehr wichtig allgemein und vor allem auch für wurzelfunktionen (und gebrochenrationale funktionen sind):
a)
grenzwertsätze:hat g(x) den grenzwert a und h(x) den grenzwert b so hat g(x)+h(x) den grenzwert a+b.
g(x)-h(x) den grenzwert a-b
g(x)*h(x) den grenzwert a*b
g(x)/h(x) den grenzwert a/b, falls b ungleich 0.
beispiel dazu: f(x)=g(x)*h(x)=(x^2+2)/(2x^2+1)*(4x^3+7)/(3x^3+2x^2)
du weißt nach regel 2 hat g(x) den grenzwert 1/2 und und h(x) den grenzwert 4/3. also ist der grenzwert von f(x):
g=1/2*4/3=4/6=2/3
b)krankenhausregel:
ist f diffbar und lim(x-->unendlich)z(x)=0 und lim(x-->unendlich)n(x)=0, so gilt lim(x-->unendlich) z(x)/lim(x-->unendlich) n(x)=lim(x-->unendlich) z`(x)/lim(x-->unendlich) n`(x).
gleiche regel gilt, wenn lim(x-->unendlich)z(x)=unendich und lim(x-->unendlich)n(x)=unendlich. man nennt solch einen ausdruck unbestimmter ausdruck.
beispiel, auch hierzu:
e^(x)/x. für x-->unendlich gehen e^x und x (zähler und nenner) gegen unendlich. somit ist die regel anwendbar uns [e^x]`/[x]`=e^x/1=e^x hat denselben `grenzwert`
nämlich gar keinen. die funktion geht gegen unendlich für x-->unendlich. (dies hätte man auch mit regel 5 lösen können, e^x konvergiert schneller als x gegen unendlich, somit kanns keinen grenzwert geben) ist zwar nicht vollständig, aber trotzdem mehr als du verlangst |
