Asymptote

1.) die asymptote einer funktion ist die gerade, der sich die funktion im unendlichen annähert (z.b. bei f(x)=1/x ist die asymptote y=o, da der wert 0 zwar nie erreicht wird, sie die funktion aber immer näher daran annähert)

Es gibt drei verschiedene Asymptoten:

1. Die waagrechte, die bekommt man mit dem Limes vkon f(x) für x gegen unendlich heraus. Sagt dir das was?

2. Die senkrechte, das sind sogenannte Polstellen, also Definitionslücken. Bsp bei 1/x ist 0 die Polstelle, da man 0 nicht einsetzten darf. also ist bei 0 eine senkrechte Asymptote.

3. Die schiefe. Brauchst du die auch? Ist bissle komplizierter, als die anderen beiden...

Was war an Helikopters Beitrag falsch?
Er hat die schiefe Asymptote erklärt...

Ok, da gebe ich Dir Recht, das war falsch. Die e-Funktion hat auch eine Asymptote...

sorry, rein aus der definition heraus stimmz, ist nicht zwangsläufig`ne gerade. meistenz ist aber die gefragt..

"ich kann mir das nur schlecht vorstellen mit der annähernden kurve.wie nähert sich ne kurve an? also hats nix mit dem globalverhalten zu tun? also limes gegen undendlich/-unendlich?"

sagen wirs so: es kann was mit dem grenzverhalten, also lim(x-->+-infty) zu tun haben, muss aber nicht!

mal als beispiel: du hast die funktion psi(x)=(x^3+4)/x. wenn du die zeichnest, stellst du fest, sie hat eine asymptote und für x-->unendlich strebt der graph von f gegen die asymptote.
kannst das ja mal zeichnen

Asymptoten stellen Graphen/Funktionen dar, auf denen die Funktion keinen Wert für x annimmt! Sie werden niemals geschnitten oder berührt!


1.
Die waagerechte Asymptote fällt meistens immer mit der X-Achse zusammen, wenn x gegen Unendlich geht. Muss aber nicht immer so sein. Um das zu überprüfen, reicht es einfach ne große Zahl für x einzusetzen. Das Ergebnis kannst du dann bei "normalen" Schulaufgaben runden, da meistens immer nur genaue Werte berechnet werden.

2.
Die senkrechte Asymptote ist , wie schon gesagt, an den Polstellen. Dazu siehst du dir den Definitionsbereich der Funktion an.
Jede Polstelle (also ein Wert, den du nicht für x einsetzt, weil sonst der Nenner Null wird und das nicht erlaubt ist) ist eine senkrechte Asymptote, WENN es keine behebbbare Definitionslücke ist. D.h. dass du die jeweilige Polstelle auch in den Zähler einsetzt! Ist das Ergebnis oben Null, so ist es eine behebbare Def.-Lücke. Dazu sag ich gleich was... Kommt für den Zähler für diese Polstelle keine Null raus, so ist es eine senkrechte Asymptote.
Eine behebbare Definitionslücke ist lediglich das Fehlen einer einzigen Koordinate in einem Graphen. Das hindert dich zum Beispiel daran, den Graphen ohne den Bleistift abzusetzen durchzuzeichnen!
Du kannst dir trotzdem ungefähr berechnen, bei welchem Y-Wert sich diese Lücke (wird in der Zeichnung mit einem kleinen Kreis markiert!) befindet, indem du nahe gelegene X-Werte in die Funktion einsetzt!

3.
Durch Polynomdivision kannst du eine sogenannte schiefe Asymptote berechnen. Bei Resten wird es schon komplizierter!^^

___________________________________

Welche Art von Asymptoten kannst du anhand von Zähler- und Nennerpolynomen feststellen!
Ist das Zählerpolynom (also der höchste Grad/ die höchste Ordnung) größer als das Nennerpolynom, so kannst du eine schiefe Asymptote mithilfe der Polynomdivision ausrechnen. Um eine komplexe schiefe Asymptote zeichnen zu können ist es vielleicht erforderlich, die Funktion auf Extrema usw. zu untersuchen^^ (Fall 3)
Ist das Zählerpolynom kleiner, so kann man keine Asyptote mithilfe der Polynomdivision berechnen. (Fall 2)
Ist Zählerpolynom und Nennerpolynom gleich, so ist es eine waagerechte Asymptote, da du Unendlich einsetzt. (Fall 1)

___________________________

Außerdem gibt es Asymptoten nicht nur bei gebrochenrationalen Funktionen, sondern beispielsweise auch bei Wurzel-, e- und log-funktionen...

Bei e^x ist die x-Achse die Asymptote, weil für x --> undendlich y gaaanz klein wird, also gegen null strebt.
Die y-Achse kann es nicht sein, da die Funktion diese schneidet...

"Sie werden niemals geschnitten oder berührt!"

das ist falsch..natürlich können die geschnitten werden..

"Jede Polstelle (also ein Wert, den du nicht für x einsetzt, weil sonst der Nenner Null wird und das nicht erlaubt ist) ist eine senkrechte Asymptote, WENN es keine behebbbare Definitionslücke ist. D.h. dass du die jeweilige Polstelle auch in den Zähler einsetzt!"

verwechsele polstelle nicht mit definitionslücke

eine polstelle x0 hat IMMER die dazugehörige polgerade x=x0
polstellen musst du auch nicht in das zählerpolynom einsetzen, da du ja schon weißt, dass dieses ungleich 0 ist.

"da du Unendlich einsetzt."

unendlich kann man nirgendwo einsetzen, da es keine zahl ist. was man macht ist den grenzwert für x-->unendlich zu betrachten und da bei grad des zählerpolynoms=grad des nennerpolynoms die polynome ungefähr gleich konvergieren, kann es keine asymptote geben, die selbst gegen +-unendlich strebt (für x gegen unenlich) und auch keine, die die gleichung y=0 hat

Genau:) Hast du`s auch verstanden?