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Simplex-Algorithmus

Frage: Simplex-Algorithmus
(10 Antworten)


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Simplex-Algorithmus - würde bitte jemand nachrechnen, dass ich sehe ob ich es richtig verstehe?

Wieder ein Skriptproblem: Für die Erstellung eines Statistik-Skripts sind pro Seite zwei Stunden Denk- und eine Stunde Schreibarbeit, für die Erstellung eines Mathematik-Skripts pro Seite eine Stunde Denk- und eineinhalb Stunden Schreibarbeit erforderlich. Für beide Skripte zusammen dürfen höchstens 200 Stunden gedacht und höchstens 150 Stunden geschrieben werden. Der Gewinn beträgt beim Statistik-Skript 2 e pro Seite und beim Mathematik-Skript 1,50 e pro Seite. Bestimmen Sie mithilfe des Simplex-Algorithmus die Seitenzahlen, die den maximalen Gewinn liefern.
Frage von lololina | am 09.12.2017 - 09:59


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14		 Antwort von Ritchy (ehem. Mitglied) | 11.12.2017 - 12:35
Richtiger Lösungsweg:

Gesuchte Strukturvariablen:
x1 sei die gesuchte Seitenzahl des Statistikskripts,
x2 sei die gesuchte Seitenzahl des Matheskripts.
Restriktionen:
(1) Bedenkzeit: 2x1 + 1x2 ≤ 200
(2) Schreibzeit: 1x1 + 1,5x2 ≤ 150
Zielfunktion (Gewinnmaximierung):
(3) 2x1 + 1x2 -> Gmax.
(1) bis (3) untereinander geschrieben ergeben das gesuchte Schema, woraus das nachfolgende Simplextableua entwickelt wird.
Simplextableau:
x1...x2...s1...s2
______________________
2....1....1.....0....200
1....1,5..0.....1....150
______________________
2....1,5..0.....0......G

Nun braucht man nur die einzelnen Schritte in diesem Video anzuwenden, um zur Lösung zu gelangen.
https://www.youtube.com/watch?v=Axg9OhJ4cjg
Pivotspalte und -zeile habe ich fett markiert! Pivotelement, später = 1, ist unterstrichen.
1.
Simplexschritt:
1....0,5....0,5....0....100
0....1......-0,5...1.....50
____________________
0....0,5....-1......0...-200
Ich habe 2 Rechenschritte zusammengefasst, Pivotzeile durch 2 geteilt und Pivotspalte, außer Pivotelement auf Null gebracht! Ferner habe ich die neue Pivotspalte und -zeile sowie -element markiert.
https://www.youtube.com/watch?v=AS3GlxIGtKQ
2. Simplexschritt:
1......0,5...0,5...0....100
0......1....-0,5...1.....50
__________________
0......0,5..-1......0...-200

Punkte dienen nur der Formatierung!
1......0......0,75..-0,5.....75
0......1....-0,5.....1.......50 (letzte Pivotzeile)
____________________
0......0.....-0,75..-0,5....-225
Überall Hälfte der Pivotzeile abgezogen!

Auswertung und Lösung:
https://www.youtube.com/watch?v=b2hyyIF0ISA
x1 = 75 (Seiten Statistikskript)
x2 = 50 (Seiten Matheskript)
Maximaler Gewinn = 225 e.
Damit ist die Aufgabe gelöst.


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14		 Antwort von Ritchy (ehem. Mitglied) | 09.12.2017 - 12:21
Hallo, eigentlich wolltest Du ja, dass wir nur nachrechnen...
https://www.youtube.com/watch?v=AOCcCgb5FtE
Hier wird Dir gezeigt, wie man das Tableau aufstellt. Auf Youtube sind viele weitere Lernvideos.
https://www.youtube.com/watch?v=_kQZFmKbQMM
Du mußt es nur auf Deine Aufgabenstellung übertragen.


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14		 Antwort von Ritchy (ehem. Mitglied) | 09.12.2017 - 14:22
Also ich wage da mal einen Lösungsversuch.
Dabei benutze ich folgende Variablen: a sei die Seitenzahl Statistikskript, b sei die Seitenzahl Matheskript, c sei die Bedenkzeit und d die Schreibzeit. Also gibt es 4 Variablen (benutze Du lieber x1 bis x4). Ich mache es aus Vereinfachungsgründen nicht.
Restriktionen/Bedingungen:
a=2c+1d
b=1c+1,5d
c≤200
d≤150
Zielfunktion:
2a+1,5b -> max. (Gewinn G).
Daraus ergibt sich nach Umformungen (siehe auch Videos):
1a + 0b - 2c - 1 d + 0s1 + 0s2 = 0
0a + 1b - 1c -1,5d + 0s1 + 0s2 = 0
0a + 0b +1c + 0 d + 1s1 + 0s2 = 200
0a + 0b +0c + 1d + 0s1 + 1s2 = 150
2a +1,5b+0c+ 0d + 0s1+ 0s2 = G (Zielfunktion)

Daraus kannst Du Dein Tableau basteln.
https://www.youtube.com/watch?v=7o8NJPpmtpI&list=PLLKAqhMS_K52R1kHtSN4oI_SPmksnx99m


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14		 Antwort von Ritchy (ehem. Mitglied) | 09.12.2017 - 14:54
Hallo, die Schlupfvariablen heißen natürlich s1 und s2, nicht s1 und s2. Leider ist die Korrekturzeit für meinen Beitrag zu schnell abgelaufen! Schlupfvariablen dienen dazu, aus einer Ungleichung eine Gleichung zu machen. Für a bis d schreibst Du x1 bis x4.
Am Ende hast Du folgendes Tableau:
1x1 + 0x2 - 2x3 - 1 x4 + 0s1 + 0s2 = 0
0x1 + 1x2 - 1x3 -1,5x4 + 0s1 + 0s2 = 0
0x1 + 0x2 +1x3 + 0 x4 + 1s1 + 0s2 = 200
0x1 + 0x2 +0x3 + 1x4 + 0s1 + 1s2 = 150
2x1 +1,5x2+0x3+ 0x4 + 0s1+ 0s2 = G

x1 x2 x3 x4 s1 s2
1 0 -2 -1 0 0 | 0
0 1 -1 -1,5 0 0 | 0
0 0 1 0 1 0 | 200
0 0 0 1 0 1 | 150
2 1,5 0 0 0 0 | G


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14		 Antwort von Ritchy (ehem. Mitglied) | 09.12.2017 - 15:06
Leider läßt es sich hier mal wieder nicht formatieren, ich hoffe aber Du kannst die Zahlenreihen nachvollziehen...


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14		 Antwort von Ritchy (ehem. Mitglied) | 09.12.2017 - 19:46
Hallo noch einmal, ich kann Dir wärmstens empfehlen, als Studentin die angebotenen Tutorien zu nutzen, die Vorlesungen besuchen und evtl. bei Youtube die Lernvideos zu schauen. Außerdem ist es sinnvoll, sich einmal bei matheboard.de umzusehen oder sich dort zusätzlich anzumelden, weil dort die ganzen Mathefreaks vertreten sind. Deine Aufgaben werden garantiert nicht leichter und ich weiß nicht, ob hier im Forum auch wissenschaftliche Mitarbeiter vertreten sind.
Die letzte Zeile meines Tableaus (Zielfunktion) kannst Du auch, wenn nötig, umformen, so daß alles auf einer Seite steht und = 0 setzen.
Auch aus Zeitgründen kann ich es Dir nicht vorrechnen, ich müßte es selbst erst im Netz erkunden. Bestenfalls kann ich das Ergebnis checken...


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14		 Antwort von Ritchy (ehem. Mitglied) | 10.12.2017 - 12:52
Ich hätte noch eine weitere Idee, weiß aber nicht, ob sie zur Lösung führt. Leichter ist diese Aufgabe zu verstehen, wenn man sich vorstellt, ein Getränkehersteller will 2 Verschiedene Getränke [Skripte] herstellen, indem er Alkohol [Bedenkzeit] und Saft [Schreibzeit] herstellt. Alkohol und Saft sind aber begrenzt. Der Gewinn durch die Getränke soll maximiert werden, wobei der Gewinn pro Liter [Seite] je Getränk angegeben ist. Ich kann mir vorstellen, dass man x1 und x2 durch die beiden anderen Variablen substituieren kann, dann lautet alles in Zeit. Übrig blieben dann 2 Restriktionen mit 2 Variablen und 2 Schlupfvariablen sowie eine Zielfunktion zur Gewinnmaximierung. Danach muß man zur Berechnung der Seitenzahlen die erhaltenen Werte aber noch in die Ausgangsgleichung einsetzen.
Am Ende hätte ich folgendes raus:
1x3 + 0x4 + 1s1 + 0s2 = 200
0x3 + 1x4 + 0s1 + 1s2 = 150
_____________________________
5,5x3+4,25x4+0s1 + 0s2 = Gmax


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14		 Antwort von Ritchy (ehem. Mitglied) | 10.12.2017 - 19:45
https://www.youtube.com/watch?v=Axg9OhJ4cjg
https://www.youtube.com/watch?v=AS3GlxIGtKQ
Damit kannst Du es lösen.
https://www.youtube.com/watch?v=b2hyyIF0ISA
Also ich hätte dann raus:
1 0 1 0 200
0 1 0 1 150
_________
0 0 -5,5 -4,5 | -1775
Also müßte der maximale Gewinn bei 1775 e liegen?


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14		 Antwort von Ritchy (ehem. Mitglied) | 10.12.2017 - 19:56
Kommt alles nicht hin, definitiv...weiß leider keinen Rat mehr, schreib mal die Lösung rein, wenn Du sie hast. Du mußt nach www.matheboard.de!


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14		 Antwort von Ritchy (ehem. Mitglied) | 11.12.2017 - 12:35
Richtiger Lösungsweg:

Gesuchte Strukturvariablen:
x1 sei die gesuchte Seitenzahl des Statistikskripts,
x2 sei die gesuchte Seitenzahl des Matheskripts.
Restriktionen:
(1) Bedenkzeit: 2x1 + 1x2 ≤ 200
(2) Schreibzeit: 1x1 + 1,5x2 ≤ 150
Zielfunktion (Gewinnmaximierung):
(3) 2x1 + 1x2 -> Gmax.
(1) bis (3) untereinander geschrieben ergeben das gesuchte Schema, woraus das nachfolgende Simplextableua entwickelt wird.
Simplextableau:
x1...x2...s1...s2
______________________
2....1....1.....0....200
1....1,5..0.....1....150
______________________
2....1,5..0.....0......G

Nun braucht man nur die einzelnen Schritte in diesem Video anzuwenden, um zur Lösung zu gelangen.
https://www.youtube.com/watch?v=Axg9OhJ4cjg
Pivotspalte und -zeile habe ich fett markiert! Pivotelement, später = 1, ist unterstrichen.
1.
Simplexschritt:
1....0,5....0,5....0....100
0....1......-0,5...1.....50
____________________
0....0,5....-1......0...-200
Ich habe 2 Rechenschritte zusammengefasst, Pivotzeile durch 2 geteilt und Pivotspalte, außer Pivotelement auf Null gebracht! Ferner habe ich die neue Pivotspalte und -zeile sowie -element markiert.
https://www.youtube.com/watch?v=AS3GlxIGtKQ
2. Simplexschritt:
1......0,5...0,5...0....100
0......1....-0,5...1.....50
__________________
0......0,5..-1......0...-200

Punkte dienen nur der Formatierung!
1......0......0,75..-0,5.....75
0......1....-0,5.....1.......50 (letzte Pivotzeile)
____________________
0......0.....-0,75..-0,5....-225
Überall Hälfte der Pivotzeile abgezogen!

Auswertung und Lösung:
https://www.youtube.com/watch?v=b2hyyIF0ISA
x1 = 75 (Seiten Statistikskript)
x2 = 50 (Seiten Matheskript)
Maximaler Gewinn = 225 e.
Damit ist die Aufgabe gelöst.


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0		 Antwort von lololina | 09.01.2018 - 14:27
ich bereite mich jetzt gerade für die Klausuren. Ich will euch Danke sagen!

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