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Quadratische Funktionen

Frage: Quadratische Funktionen
(5 Antworten)


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Hey, ich schreibe am Montag eine Mathearbeit und kann eine Anwendungsaufgabe noch nicht so richtig verstehen. Ich habe zwar die Lösungen, kann damit aber nicht wirklich was anfangen.

Die Aufgabenstellung lautet:
Bei einem Popkonzert soll die Karte 62,00 Euro kosten. Bei diesem Preis rechnet der Veranstalter mit 20 000 Besuchern. Von den letzten Konzerten weiß er, dass er etwa 1600 Besucher mehr erwarten kann, wenn er den Preis um 4,00 Euro absenkt. Wenn er den Preis um 4,00 Euro erhöht, muss er vermutlich auf 1600 verzichten. Die Einnahmen des Veranstalters lassen sich in Abhängigkeit von der Preiserhöhung durch G(x)= (20 000-1600x)*(62+4x) berechnen.

a) Bei welchem Eintrittspreis erzielt der Veranstalter die maximalen Einnahmen und wie hoch sind diese? ( Lösung Bei 56 Euro Eintrittspreis erzielt er maximale Einnahmen in Höhe von 1 254 400 Euro)

c) Wie viele Besucher kommen in diesem Fall? ( Lösung: 22 400)

Danke schon mal im Voraus
Julia
Frage von julia0508 (ehem. Mitglied) | am 01.07.2017 - 14:48


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13		 Antwort von n8flug (ehem. Mitglied) | 01.07.2017 - 23:15
Hallo nochmal, ich habe mir nochmal alles angeschaut: Die angegebene Formel bezieht sich ja auf Preiserhöhungen/-senkungen also Preisveränderungen. Meine Formel für G(x) bezieht sich direkt auf den Preis, absolut gesehen! Trotzdem kommen ich mit deiner Formel nicht aufs richtige Ergebnis. In der bei Dir angegebenen Formel steht x für die Preisänderung! Also bei 56€ wäre x= -6, nämlich 6€ weniger Eintrittspreis. Bei 62€ wäre x=0 und bei Preiserhöhung wäre x positiv.

So ich glaube, die richtige Formel heißt dann: G(x) = (20000-400x)(62+x).
Setze da mal -6 für x ein (Preissenkung 6€, macht dann 56€) dann passt es.
Auch hier kannst Du ausmultiplizieren und das Maximum berechnen.
Denke daran, dass Du aber einen Wert x erhälst für dei Preissenkung! Das ist nicht der Preis! x= -6 bedeutet 62€ - 6€ = 56€!
Dem Aufgabensteller ist mit seiner Formel einfach ein denkfehler unterlaufen, weil es ja in 4€ Schritten geht mit der Besucheranzahl, müssen die 1600 durch 4 geteilt werden und auch die 4x!
Eine Ableitung ermittelt man übrigens durch Verringerung des Exponenten um 1 und das Vorziehen dessen vor die Basis. Das geht auch bei Summen!
also: x² abgeleitet 2x; 4x³ abgeleitet 3mal4x² also 12x²...


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13		 Antwort von n8flug (ehem. Mitglied) | 01.07.2017 - 15:29
Hallo Julia, also Du hast ja eignetlich 2 Funktionen, einmal die Einnahme- oder Gewinnfunktion G(x), wo die Besucheranzahl mit dem Eintrittspreis multipliziert wird.
Zum anderen mußt Du aber erst die Besucheranzahl berechnen. Ich nenne diese Funktion B(x), es ist eine Gerade (eigentlich ein Strahl), deren Steigung Du nach der Zweipunkteformel berechnen kannst.
Danach hast Du 2 Funktionen und setzt die Funktion B(x) in G(x) ein, x ist übrigens der Preis, das zur Theorie.
Ein Maximum erhält man durch die hinreichende Bedingung 1.Ableitung =0. Einfache Extremwertberechnung.
Später ergänze ich noch was.


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2100		 Antwort von matata | 01.07.2017 - 17:14
Hier gibt es einen Lösungsvorschlag:

https://www.kleiderkreisel.de/foren/rat-und-tat/hilfe-bei-schul-und-studienarbeiten/2262324-mathematik-funkiontsgleichung-hilfe
________________________
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13		 Antwort von n8flug (ehem. Mitglied) | 01.07.2017 - 20:19
Zweipunkteformel zur Berechnung der Steigung der Geraden: (y2 - y1)/(x2 -x1)
x ist der Eintrittspreis, y die Besucheranzahl.
Du hast sogar 3 Wertepaare 20000 Besucher und 62€; 21600 Besucher und 58€; 18400 Besucher und 66€, weitere paare kannst Du berechnen.
Wir setzen ein: (21600 - 20000)/(58 -62) = -400
Das ist die Steigung m der Geradenfunktion.
Eine Geradengleichung sieht so aus: y= mx +b.
also y = -400x + b. Wir setzen ein Paar ein: 21600 = -400 mal 58 + b
folgt: 21600 = -23200 +b also b= 44800.
Geradengleichung: y = -400x + 44800.

Nun kommen wir zu den Einnahmen G(x) = Anzahl Besucher y mal Eintrittspreis x.
Einsetzen von y: G(x) = (-400x + 44800)x = -400x² + 44800x.
Nun das Maximum berechnen: 1. Ableitung = 0 setzen!
-800x +44800 [Ableitungen schon gehabt?] = 0
⇔ -800x = -44800 ; x=56€ wowla.
Ich komme also zum selben Ergebnis.
Einsetzen in die Geradengleichung y= -400 mal 56 + 44800 = 22400 Besucher.
Einnahmen: 22400 mal 56 = 1254400 €.


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13		 Antwort von n8flug (ehem. Mitglied) | 01.07.2017 - 20:36
Ich hoffe, ich habe dich nicht verwirrt, denn das war nur eine Herleitung zum Verständnis, denn die Formel war ja schon vorgegeben.
Wir multiplizieren G(x)= (20 000-1600x)*(62+4x) mal aus: 20000*62 - 1600x*62 + 20000*4x - 1600x*4x = 1240000 - 99200x + 80000x -6400x² = 1240000 -19200x -6400x². Umstellen G(x) = -6400x² -19200x + 1240000?
Oje mit Deiner Formel stimmt was nicht, oder falsch abgeschrieben?
Durch Einsetzen siehst Du, dass es nicht hinkommt!
Nimm halt meine perfekte Lösung!


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13		 Antwort von n8flug (ehem. Mitglied) | 01.07.2017 - 23:15
Hallo nochmal, ich habe mir nochmal alles angeschaut: Die angegebene Formel bezieht sich ja auf Preiserhöhungen/-senkungen also Preisveränderungen. Meine Formel für G(x) bezieht sich direkt auf den Preis, absolut gesehen! Trotzdem kommen ich mit deiner Formel nicht aufs richtige Ergebnis. In der bei Dir angegebenen Formel steht x für die Preisänderung! Also bei 56€ wäre x= -6, nämlich 6€ weniger Eintrittspreis. Bei 62€ wäre x=0 und bei Preiserhöhung wäre x positiv.

So ich glaube, die richtige Formel heißt dann: G(x) = (20000-400x)(62+x).
Setze da mal -6 für x ein (Preissenkung 6€, macht dann 56€) dann passt es.
Auch hier kannst Du ausmultiplizieren und das Maximum berechnen.
Denke daran, dass Du aber einen Wert x erhälst für dei Preissenkung! Das ist nicht der Preis! x= -6 bedeutet 62€ - 6€ = 56€!
Dem Aufgabensteller ist mit seiner Formel einfach ein denkfehler unterlaufen, weil es ja in 4€ Schritten geht mit der Besucheranzahl, müssen die 1600 durch 4 geteilt werden und auch die 4x!
Eine Ableitung ermittelt man übrigens durch Verringerung des Exponenten um 1 und das Vorziehen dessen vor die Basis. Das geht auch bei Summen!
also: x² abgeleitet 2x; 4x³ abgeleitet 3mal4x² also 12x²...

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