monotonie der Funktion ohne Ableitung

Meinst Du vielleicht Monotonie?
Naja anscheinend kennst Du ja die Ableitung.
Was ist der Gedanke der Ableitung?
Du misst die Steigung.
Dann versuche doch mal:
1/2* (x+h)^3-3/(x+h) und 1/2 * x^3 - 3/x zu vergleichen.
Ich mache das mal am Beispiel von f(x)=x².
1. Fall x>0:
(x+h)²=x²+2xh+h²>x². Dies gilt insbesondere für alle h. Ein h würde Dir nicht reichen.
2. Fall x<0: (Das !-Zeichen soll zu zeigen heißen. Damit ich zeige,
dass ich das da noch nicht weiß.)
x²+2xh+h²(<!)x² <=> 2xh+h²<0.
Wenn Du Dein x fest hast, gilt das für gewisse h.
Hier h auf (0,-x) einschränken.
Dann gilt 2xh+h²<=-2x²+x²=-x²<0.
Das müsste ungefähr so sein.
Ich weiß aber jetzt nicht, ob ich das jetzt zu kompliziert mache.
Auf jeden fall kannst Du ja mit der Ableitung kontrollieren.
Guck Dir Deine 2 Summanden getrennt an.
Beim ersten Summanden gilt (bei mir ist h immer positiv):
Für den Fall (x>0).
x³<(x+h)³
-3/x < - 3/(x+h).
Addiert bleiben die Ungleichungen.
Für den Fall (x<0) solltest Du aufpassen, dass x+h ungleich 0 gilt, damit Du nicht durch 0 teilst.