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Komplexe Zahlen cos²(phi)+sin²(phi)=1

Frage: Komplexe Zahlen cos²(phi)+sin²(phi)=1
(2 Antworten)


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3
Hi Leute,
ich brüte nun seit ca.
3 Stunden über dem selben Problem:

Gegeben sind 2 komplexe Zahlen:

(e^jphi+e^-jphi)/2 = cos(phi)
(e^jphi-e^-jphi)/2j = sin(phi)


Beweisen Sie anhand der gegebenen komplexen Zahlen dass folgendes gilt:

cos²(phi) + sin²(phi) = 1


Egal wie ich auch rechne ich komme immer wieder auf cos²(phi)-sin²(phi)=1

Ich denke ich mache bereits beim quadrieren der Zahlen ganz am Anfang einen Fehler. Komme aber einfach nicht darauf.

Wenn ich die Zahlen quadriere komme ich auf:
(e^j(phi) + e^-j(phi))² = e^j2(phi) + e^-j2(phi)
(e^j(phi) - e^-j(phi))² = e^j2(phi) + e^-j2(phi)

bei den Nennern wären das noch 4 und 4j² = -4

Ich bin mir aber eben bei den e-Termen nicht sicher.

Wäre super wenn mir jemand weiterhelfen könnte.


Gruß
Frage von R3XAN | am 18.02.2015 - 17:17


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Beiträge 2734
101
Antwort von v_love | 18.02.2015 - 19:38
"Wenn ich die Zahlen quadriere komme ich auf:

(e^j(phi) + e^-j(phi))² = e^j2(phi) + e^-j2(phi)
(e^j(phi) - e^-j(phi))² = e^j2(phi) + e^-j2(phi)"
du hast +2 bzw. -2 vergessen, außerdem ist in der unteren Gleichung ein Vorzeichenfehler.


Autor
Beiträge 33
3
Antwort von R3XAN | 19.02.2015 - 08:17
Hab meinen Fehler eben gefunden. Die Terme sind Binome... Manchmal sollte man einfach aufhören und es sich bei klarem Verstand nochmal anschauen...

Damit folgt:
e^j2(phi) + 2e^0 + e^-j2(phi)
e^j2(phi) - 2e^0 + e^-j2(phi)

daraus ergibt sich:
2e^0 = 2
-2e^0 = -2

mit den Nennern ergibt das
2/4 + -2/-4 = 1

Danke v_love ^^

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