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Schule > Mathematik > Zahlenbereiche > Der Abacus - eines der ältesten Rechengeräte

DER ABAKUS

GESCHICHTE, AUFBAU UND DIE WICHTIGSTEN FUNKTIONSWEISEN

Inhaltsverzeichnis

1. Vorwort 2

2. Einleitung 2

3. Die Geschichte des Abakus 2

4. Aufbau des Abakus 3

5. Funktionsweise des Abakus 3

5.1 Die Darstellung von Zahlen 4

5.1.1 Die Darstellung von ganzen Zahlen 4

5.1.2 Die Darstellung von Dezimalbrüchen 6

5.2 Das Rechnen mit dem Abakus 7

5.2.1 Die Addition 7

5.2.2 Die Subtraktion 11

5.2.3 Die Multiplikation 13

5.2.4 Die Division 15

5.2.5 Das Ziehen der Quadratwurzel 17

6. Schluss 20

7. Anhang 20

7.1 Literaturverzeichnis 20

7.3 Selbstständigkeitserklärung 23

1. Vorwort

Die vorliegende Facharbeit setzt sich mit dem Thema Abakus auseinander. Ich bin auf dieses Thema auf den Rat von Herrn Tafel gekommen, weil ich zunächst keine konkrete Vorstellung davon hatte, für welches Thema ich mich entscheiden soll. Das Thema ist so vielfältig, das zunächst ein Arbeitsplan erstellt werden musste. Nach der Recherche über den Abakus wurden die Themenuntertitel festgehalten. Ein gewisser Zeitplan ermöglichte eine intensive Beschäftigung mit der Facharbeit. Für die Erarbeitung in das Thema habe ich in den Monaten Dezember 04 bis März 05 wöchentlich ca. 10 Stunden aufgewendet. Den größten Teil dieser Zeit wurden dabei für die Erläuterung und Rechenweise des Abakus verbraucht. Im Großen und Ganzen hat sich die Anstrengung gelohnt und es hat mir sehr viel Spaß gemacht, mich mit dem Abakus zu befassen. Dadurch wurde mir die Gelegenheit gegeben eine andere Rechenweise kennen zu lernen. Aufgrund der Abbildungen überschreite ich die Seitenzahlen, die in den formalen Angaben angegeben sind.

2. Einleitung

Zunächst wird in dieser Ausarbeitung die Entwicklungsgeschichte des Abakus kurz dargestellt. Anschließend wird erläutert und anhand von Beispielen erklärt, wie die vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und das Ziehen von Quadratwurzeln auf dem Abakus durchgeführt werden.

3. Die Geschichte des Abakus

Der Abakus auch "Suanpuan" (2) genannt, ist eines der ältesten Rechengeräte, das seit mehreren tausend Jahren bis in die heutige Zeit benutzt wird. Nach dem heutigen Kenntnisstand waren die Chinesen 1000 v.Chr. die ersten Benutzer des Abakus, dessen Prinzip etwa 1600 n.Chr. von den Japanern übernommen wurde. Der Abakus ist in manchen Kulturen völlig unbekannt, in anderen wird er oft mit Kinderspielzeug oder mit dem Rechenschieber verwechselt. Doch in China, Japan, Russland, Vietnam, Afrika und in einigen angrenzenden Ländern wird der Abakus täglich eingesetzt.

4. Aufbau des Abakus

Der Abakus besteht aus einem Holzrahmen mit Kugeln auf beispielsweise 17 parallelen senkrechten Stangen sowie einem dazu angebrachten waagerechten Querbalken. Der Querbalken teilt die Kugeln in zwei Gruppen. In der Grundstellung sind die oberen Kugeln alle nach oben und die unteren alle nach unten positioniert (siehe Abb.1).

Abb. 1

5. Funktionsweise des Abakus

5.1 Die Darstellung von Zahlen

Auf dem Abakus stellt jede Stange eine Dezimalstelle dar. Die Kugeln auf der ersten Stange unterhalb des Querbalkens stellen jeweils Einer, links daneben auf der zweiten Stange jeweils Zehner und noch mal links daneben die dritte Stange Hunderter usw. dar. Die Kugeln auf der ersten Stange oberhalb des Querbalkens stellen jeweils Fünfer, links daneben auf der zweiten Stange Fünfziger und noch mal links daneben Hunderter usw. dar. Durch die Verschiebung der oberen und/oder unteren Kugeln auf den entsprechenden Dezimalstangen zum Querbalken hin, werden Zahlen dargestellt.

5.1.1 Die Darstellung von ganzen Zahlen

Nachfolgend wird anhand von Beispielen die Darstellung von ganzen Zahlen auf dem Abakus veranschaulicht.

5.1.2 Die Darstellung von Dezimalbrüchen

Auf dem Abakus kann man auch mit Dezimalbrüchen rechnen, wobei man die Kommastelle sich im Kopf merken muss.

In unseren Beispielen könnte sich die Kommastelle auf allen Stangen befinden. Nur der Benutzer kann sich die Kommstelle merken, wo er sich das gerade vorstellt.

5.2 Das Rechnen mit dem Abakus

5.2.1 Die Addition

Die Addition ist eine der einfachsten Rechenoperationen, weil man die Ergebnisse leicht ablesen kann. Bevor man zu rechnen beginnt sollte man aber beachten, dass man immer von rechts anfängt zu rechnen.

Beispiel 1 Addition von 8 und 5:

Als erstes wird die Zahl 8 auf dem Abakus auf der ersten Stange eingestellt und zwar durch Verschieben einer oberen Kugel und 3 unterer Kugeln jeweils zum Querbalken hin (d.h. 1*5+3*1, siehe Abb. 10).

Darstellung der Zahl 8

Nachdem die Zahl 8 eingestellt wurde, schiebt man auf der ersten Stange eine weitere obere Kugel zum Querbalken hin. Die verschobene Kugel addiert sich nun automatisch zur 8 hinzu. Das Ergebnis ist nun ablesbar (2*5+3*1, siehe Abb. 11)

Darstellung der Addition 8+5

Ohne dass sich das Ergebnis ändert, kann man die 2 Kugeln die oberhalb des Querbalkens liegen, durch eine Kugel auf der zweiten Stange ersetzten(1*10+3*1, siehe Abb. 12).

Darstellung der Zahl 13

Jede Additionsaufgabe kann man in ähnlicher Weise leicht durchführen. Dennoch gibt es Fälle, die schwieriger mit dem Abakus durchzuführen sind.

Beispiel 2 Addition von 18+28

Zuerst wird die Zahl 18 eingestellt (siehe Abb. 13) und zwar durch Verschieben einer oberen Kugel sowie 3 unterer Kugeln der ersten und einer unteren Kugel der zweiten Stange jeweils zum Querbalken hin.

Darstellung der Zahl 18

Grundsätzlich werden bei der Addition zunächst die Einer der hinzuzuaddierenden Zahl eingestellt, damit man im zweiten Zug nur noch volle Zehner, Hunderter usw. leicht eingeben kann.

In unserem Beispiel müsste die 8 der Zahl 28 auf der ersten Stange zur bereits eingestellten Zahl 18 eingegeben werden.

Da dies ist nicht möglich ist, weil auf der ersten Stange nur noch Zahlen von 1-7 einstellbar sind, addiert man stattdessen die Zahl 10 zu der 18 hinzu und zieht danach die 2 wieder ab.

Dies geschieht dadurch, indem man noch eine untere Kugel auf der zweiten Stange zum Querbalken hinschiebt (+10) und zwei untere Kugeln auf der ersten Stange wieder nach unten schiebt (-2) (siehe Abb. 14).

Darstellung der Addition 18+10-2=26

Nachdem die Zahl 8 zur 28 addiert worden ist, muss man nur noch die Zahl 20 addieren, die von der 28 übrig geblieben ist. Dies geschieht durch die Verschiebung von 2 unteren Kugeln auf der zweiten Stange zum Querbalken hin (+20). Das Ergebnis der ganzen Aufgabe ist nun ablesbar (d.h. 1*1+1*5+4*10 siehe Abb. 15).

Darstellung der Addition 26+20=46

5.2.2 Die Subtraktion

Um die Subtraktion durchführen zu können, sollte man die Addition gut beherrschen. Die Subtraktion ist nämlich genauso einfach wie die Addition.

Beispiel 1 Subtraktion von 44 und 27

Als erstes wird die Zahl 44 auf dem Abakus eingestellt. Auf der ersten Stange und zweiten Stange schiebt man 4 untere Kugeln zum Querbalken hinzu. (d.h. 4*1+4*10, siehe Abb. 16).

Darstellung der Zahl 44

Grundsätzlich werden bei der Subtraktion zunächst die Einer der hinzuzuaddierenden Zahl eingestellt, damit man im zweiten Zug nur noch volle Zehner, Hunderter usw. leicht abziehen kann.

In unserem Beispiel müsste die 7 der Zahl 27 auf der ersten Stange zur bereits eingestellten Zahl 44 eingegeben werden.

Da dies ist nicht möglich ist, weil auf der ersten Stange nur noch Zahlen von 1-11 einstellbar sind, subtrahiert man stattdessen die Zahl 10 von der 44 und addiert danach die 3 wieder hinzu.

Dies geschieht dadurch, indem man eine untere Kugel auf der zweiten Stange vom Querbalken hinunterschiebt (d.h. 44-10=34, siehe Abb. 17).

Darstellung der Subtraktion 44-10=34

Nun zählt man eine obere Kugel auf der ersten Stange zum Querbalken hin und zieht zwei untere Kugeln unter dem Querbalken ab (d.h. 1*5-2*1, siehe Abb. 18). Damit hat man die 7 abgezogen.

Darstellung der Subtraktion 34+5-2=37

Nachdem die Zahl 7 von der 44 abgezogen wurde, muss man nur noch die Zahl 20 subtrahieren, die von der 27 übrig geblieben ist.

Dies geschieht durch die Verschiebung nach unten von 2 Kugeln auf der zweiten Stange unter dem Querbalken (-20). Das Ergebnis der ganzen Aufgabe ist nun Ablesbar (d.h. 1*10+1*5+2*1, siehe Abb. 19).

Darstellung der Subtraktion 37-20=17

5.2.3 Die Multiplikation

Die Multiplikation auf dem Abakus ähnelt unserem schriftlichen Einmaleins. Ganz links wird der Multiplikand eingegeben und danach die Spalte deaktiviert. Rechts daneben wird der Multiplikator eingegeben. Die Ergebnisse der einzelnen Schritte werden ganz rechts eingetragen.

Beispiel Multiplikation 74x3

Ganz links wird die 7 von der Zahl 74 eingegeben, daneben die 4 der 74. Danach die Spalte wird deaktiviert und daneben wird die Zahl 3, mit der man multiplizieren möchte, eingegeben. Dies bedeutet 74x3 (siehe Abb. 20).

Als erstes Multiplizieren wir die 4 von der 74 mit der 3 und das Ergebnis, die 12 wird ganz rechts eingetragen (siehe Abb. 21).

Darstellung der Multiplikation 4x3=12

Die übriggebliebene 70 von der 74 multipliziert man ebenfalls mit der 3. Das Ergebnis, die 210 wird zu dem anderem Ergebnis hinzugefügt (siehe Abb. 22).

Darstellung der Multiplikation 7x3=21+12=222

5.2.4 Die Division

Das Dividieren ist wieder, wie unser schriftliches Dividieren. Die Division funktioniert in ähnlicherweise wie die Multiplikation. Der Divisor wird zuerst ganz links eingegeben, danach folgt eine deaktivierte Spalte und dann der Dividend rechts neben der deaktivierten Spalte. Die Ergebnisse werden auch hier ganz rechts eingetragen.

Beispiel Division 256:16

Ganz links wird die 16 eingegeben. Daneben die Spalte wird deaktiviert und rechts neben der deaktivierten Spalte wird die Zahl 256, wodurch man teilen möchte, eingestellt. Dies bedeutet 256:16, siehe Abb. 23).

Darstellung der Division 256:16

Zunächst wird untersucht, ob der Divisor in die erste Ziffer des Dividenden hineinpasst. In unserem Beispiel passt die Zahl 16 nicht in die 2 der Zahl 256. Daher wird geschaut, ob die Zahl 16 in die 25 passt. Wenn ja, wie oft? Die 16 passt einmal in die 25 und wird auch so in den Abakus eingetragen. Nur zu beachten ist, dass dieses Ergebnis die Zehnerziffer darstellt und daher in die vorletzte Spalte eingestellt werden muss (siehe Abb. 24).


Da die Zahl 16 einmal in die 25 passt, zieht man die 16 von den 25 ab, es bleiben 9 übrig. Also muss noch untersucht werden wie oft die 16 in die 96 (Rest 9 und hinzugefügte Ziffer 6) passt. Dies ist 6-mal der Fall. Diese 6 wird nun in die letzte rechte Spalte als Einerziffer eingetragen und man kann das Ergebnis der Division =16 auf dem Abakus ablesen (siehe Abb. 25).

Darstellung des Ergebnisses 16

5.2.5 Das Ziehen der Quadratwurzel

Für das Ziehen einer Quadratwurzel sind mehrer Schritte erforderlich.

Beispiel Wurzel aus 529

Die Zahl 529 wird zunächst ganz rechts auf den entsprechenden Stangen eingestellt (siehe Abb. 26).

Darstellung der Wurzel 529

Nachdem die Zahl eingestellt wurde, muss zunächst eine Zerteilung der Zahl in "Zweierziffernpaare" stattfinden. Die Zahl 529 zerlegt man daher in 5|29.

Von links beginnend sucht man für das erste Zweierziffernpaar (5) die nächstkleinere Quadratzahl, woraus man die Wurzel ziehen kann. Zur 5 passt als nächstkleinere Quadratzahl die 4, weil 22 = 4 ergibt. Die Quadratwurzel aus 4 = 2 wird mit ein paar Spalten Abstand nach links in den Abakus eingetragen (siehe Abb. 27).

Darstellung der Wurzel von 4 = 2

Abb. 27

Die 2 wird quadriert und das Ergebnis wird von der 5 abgezogen, also bleibt die 1 übrig. Diese 1 fügt man nun dem übrig gebliebenen Zweierziffernpaar 29 zu. Dies bedeutet 129 (siehe Abb.28).

Darstellung der Zahl 129

Die erste Zahl 1 von der 129 wird durch die 4 geteilt. Da man hier nicht die 1 durch die 4 dividieren kann, wird die nächste Zahl 2 dazugenommen. Die 12 durch die 4 kann man dividieren, wobei man die 12 der 129 auf dem Abakus wieder in die eigentliche Stelle positioniert. Das Ergebnis dieser Division wird rechts neben der 2 eingegeben (siehe Abb. 29). Die 3 wird mit sich selbst multipliziert und das Ergebnis wird auf dem Abakus durch Verschieben der Kugeln auf der ersten Stange in ihre Ausgangsposition entfernt (siehe Abb. 29). Damit ist das Ergebnis der ganzen Aufgabe ablesbar.

Darstellung des Ergebnisses 23

6. Schlussfolgerung

Der Abakus eignet sich sehr gut für die Grundrechenarten, aber nicht für höhere Rechenweisen wie z.B. die Berechnung von Potenzen. Für Kinder, die gerade anfangen Rechnen zu lernen, ist der Abakus besonders geeignet, weil Kinder ihn als ein Spielzeug sehen und gerne daran herum experimentieren. Doch für den alltäglichen Gebrauch in Industrieländern ist der Abakus nicht sehr empfehlenswert, weil er wenig transportabel, zeitaufwendig und unhandlich ist. Außerdem muss man dennoch um das Ergebnis ablesen zu können, die Addition und Multiplikation beherrschen.

7. Anhang

7.1 Literaturverzeichnis

Bücher:

Beutelspacher, Albrecht: Mathematik für die Westentasche. Von Abakus bis Zufall. München: Piper 2001

Scheid, Harald: Duden Rechnen und Mathematik. Das Lexikon für Schule und Praxis. Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich: Dudenverlag 2000

Gellert, Walter; Kästner, Herbert; Neuber, Siegfried: Fachlexikon ABC Mathematik. Frankfurt/Main: Harri Deutsch 1978

Internet-Quellen:

Amslinger Tobias: Die Geschichte des Computers. Der Abakus. Ohne Datumsangabe, http://www.geschichte-des-computers.de/abakus.php. 17.01.2005

Appell, Wolfgang: Mathe-Geschichte(n) mit Spaß lernen. 10 März, 2004. http://home.fonline.de/fo0126//geschichte. 05.01.2005

Feisthammel, P.: Abakus - Antike Rechenhilfe. Februar 2005, http://www.educeth.ch/informatik/werkstatt/multiplik/abakus. 02.02.2005

Haftendorn, Dörte : Abakus. September 2003, update 04. Dezember 2004, http://www.fh-lueneburg.de/mathe-lehramt/geschichte/abakus/abakus.htm. 03.01.2005

Lütjens, Jörn: Willkommen im "Abakus-Online-Museum". September 2004, http://www.joernluetjens.de/sammlungen/abakus/abakus.htm#geschichte. 24.12.2004

Lütjens, Jörn: Chinesischer Abakus (Suanpuan). Mai 2004, http://www.hh.schule.de/metalltechnik-didaktik/users/luetjens/abakus/china/china.htm. 27.02.2005

Lutz, Monika: Abakus Rechnen mit Perlen. Ohne Datumsangabe, http://www.fh-friedberg.de/users/mlutz/abakus/abacus.html. 27.12.2004

Teddy, Fung: Chinese Abacus. 2002, http://members.aol.com/chineseabacus/cyberAbacus.html. 17.01.2005

Topolewski, Pascal: Chinesischer Abakus. 2003, http://www.topolewski.de/pascal/jufo2003/links.htm. 20.01.2005

Wrightson, Benjamin: Der Abakus Geschichte und Funktionsweise. Dezember 1996, http://home.t-online.de/home/benjamin.wrightson/abakus/homepage.htm. 01.01.2005

Um die Zahl 1 auf dem Abakus darstellen zu können, schiebt man eine Kugel auf der ersten Stange unterhalb des Querbalkens zum Querbalken hin.

Um die Zahl 2 darstellen zu können, schiebt man zwei Kugeln auf der ersten Stange unterhalb des Querbalkens zum Querbalken hin.

Um die Zahl 11 darstellen zu können, muss man zwei Kugeln zum Querbalken hinzuschieben, jeweils eine Kugel auf der ersten Stange und auf der zweiten Stange zum Querbalken hin. Weil auf der ersten Stange die Kugeln die Einerstellen darstellen und jeweils daneben die Stangen die Zehnerstellen darstellen.

Um die Zahl 111 darstellen zu können schiebt man eine Kugel von der dritten Stange, von der zweiten Stange und von der ersten Stange zum Querbalken hinzu, da die dritte Stange Hunderter sind, die zweite Stange die Zehner und die erste Stange die Einer ergibt sich hieraus die 111.

Um die Zahl 5 darstellen zu können, schiebt man eine Kugel des fünffachen Wertes auf der ersten Stange oberhalb des Querbalkens zum Querbalken hinzu.

Die Zahl 471575 stellt man durch Zerlegung in Zehnerpotenzen wie folgt dar:

4x105+(5+2)x104+1x103+5x102+(5+2)x101+5x100

=400000+70000+1000+500+70+5

=471575

Es werden zwei untere Kugeln (2) auf der ersten, eine untere Kugel (10), eine obere Kugel (5) auf der zweiten Stange und eine untere Kugel auf der vierten Stange zum Querbalken hingeschoben.

In diesem Beispiel kann sich die Kommastelle aber nur zwischen der 5. bis 17. Stange befinden, weil sich die Kommstelle nur vor den eingegeben Zahlen sich verbergen kann.

Von der 529 wird die obere Kugel (500) auf der dritten Stange zurückgeschoben und eine untere Kugel (100) zum Querbalken hingeschoben, damit es die 129 darstellt.

Die Zahl 8 darstellen zu können, schiebt man eine obere Kugel (5) und drei untere Kugeln (3) auf der ersten Stange zum Querbalken hinzu.

Hier fügt man zu der eingestellten 8 eine obere Kugeln (5) hinzu.

Hier werden 3 untere Kugeln (3) auf der ersten Stange und eine untere Kugel (10) auf der zweiten Stange zum Querbalken hingeschoben.

Hier wird eine obere Kugel (5) drei untere Kugeln (3) auf der ersten Stange und eine untere Kugel (10) auf der zweiten Stange zum Querbalken hingeschoben.

Hier werden eine obere Kugel (5), eine untere Kugel (1) auf der ersten Stange und zwei untere Kugeln (20) auf der zweiten Stange zum Querbalken hingeschoben.

Hier werden eine obere Kugel (5), eine untere Kugel (1) auf der ersten Stange und vier untere Kugeln (40) auf der zweiten Stange zum Querbalken hingeschoben.

Auf der ersten Stange und zweiten Stange schiebt man 4 untere Kugeln zum Querbalken hinzu.

Hier werden vier untere Kugeln (4) auf der ersten Stange und drei untere Kugeln (30) auf der zweiten Stange zum Querbalken hingeschoben.

Hier werden eine obere Kugel (5), zwei untere Kugeln (2) auf der ersten Stange und 3 untere Kugeln (30) auf der zweiten Stange zum Querbalken hingeschoben.

Hier werden eine obere Kugel (5), zwei untere Kugeln (2) auf der ersten Stange und eine untere Kugel (10) auf der zweiten Stange zum Querbalken hingeschoben.

Links auf der letzten 17. Spalte, werden eine obere Kugel (5), zwei untere Kugeln (2) und vier untere Kugeln (4) auf der 16. Stange zum Querbalken hingeschoben. Daneben die 15. Stange wird deaktiviert und auf der 14. Spalte werden drei untere Kugeln (3) zum Querbalken hingeschoben.

Links die eingestellten Kugeln bleiben wie in Abb. 20, rechts werden zwei untere Kugeln (2) auf der ersten Stange und eine untere Kugel (10) auf der zweiten Stange zum Querbalken hingeschoben.

Links ändert sich nichts, rechts werden jeweils zwei untere Kugeln von der ersten (2) bis zur dritten Stange (200) zum Querbalken hingeschoben.

Die untere Kugel (10) auf der 17. Stange, eine obere Kugel (5) und eine untere Kugel (1) auf der 16. Stange werden zum Querbalken hingeschoben. Danach wird die 15. Stange deaktiviert. Zwei untere Kugeln (200) auf der 14. Stange, eine obere Kugel (50) auf der 13. Stange, noch eine obere Kugel (5) auf der 12. Stange und eine untere Kugel (1) auf der 12. Stange werden zum Querbalken hingeschoben.

Hier wird eine untere Kugel (10) auf der zweiten Stange zum Querbalken hingeschoben.

Hier werden noch eine obere Kugel (5) und eine untere Kugel (1) auf der ersten Stange hinzugefügt.

Eine obere Kugel (500) auf der dritten Stange, zwei untere Kugeln (20) auf der zweiten Stange, eine obere Kugel (5) und vier untere Kugeln (4) auf der ersten Stange werden zum Querbalken hingeschoben.

Die rechts eingestellten Kugeln bleiben, wie sie sind. Auf der 7. Stange werden zwei untere Kugeln (2) zum Querbalken hingeschoben.

Hier werden drei untere Kugeln (3) auf der 6. Stange zum Querbalken hingeschoben. Eine untere Kugel (10) auf der dritten Stange und zwei weitere untere Kugeln (2) auf der zweiten Stange werden in die eigentliche Stelle positioniert.

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