Betrag einer Quadratischen Gleichung

Falls Dir diese effiziente Lösung der Aufgabe nicht genügt und Du unbedingt eine Fallunterscheidung für den quadratischen Term haben möchtest:

x-2 ≤ 0   <=>   x ≤ 2
x-2 > 0   <=>   x > 2

Diese Fälle hast Du ja angeblich bereits selbst herausgefunden.


Der quadratische Term entspricht einer nach unten geöffneten Parabel mit den Nullstellen -1 und 2,
wie man unschwer an den Linearfaktoren ablesen kann,
welche Du bereits erfolgreich berechnet hast.
Es gilt also:

2+x-x² < 0   <=>   x < -1   oder   x > 2
2+x-x² ≥ 0   <=>   -1 ≤ x ≤ 2


Damit ergeben sich folgende 3 zu unterscheidende Fälle:


1.Fall:    x > 2
        => x-2 > 0   und   2+x-x² < 0
        => |x-2| - |2+x-x²|   =   (x-2)+(2+x-x²)   =   2x-x²
und es gilt: 2x-x² = 0   <=>   x(2-x) = 0   <=>   x = 0   oder   x = 2   (Widerspruch zu x > 2).
Also hat die Gleichung |x-2|-|2+x-x²|=0 für den Fall x > 2 keine Lösung.

2.Fall:    x < -1
        => x-2 ≤ 0   und   2+x-x² < 0
        => |x-2| - |2+x-x²|   =   -(x-2)+(2+x-x²)   =   4-x²
und es gilt: 4-x² = 0   <=>   x² = 4   <=>   x = -2   oder   x = 2.
Da x = 2 im Widerspruch zu x < -1 steht, hat die Gleichung |x-2|-|2+x-x²|=0 für den Fall x < -1
nur die Lösung x = -2.

3.Fall:    -1 ≤ x ≤ 2
        => x-2 ≤ 0   und   2+x-x² ≥ 0
        => |x-2| - |2+x-x²|   =   -(x-2)-(2+x-x²)   =   -2x+x²
und es gilt: -2x+x² = 0   <=>   x(-2+x) = 0   <=>   x = 0   oder   x=2.
Keine dieser Lösungen steht im Widerspruch zu -1 ≤ x ≤ 2, also hat die Gleichung |x-2|-|2+x-x²|=0
in diesem Fall die zwei errechneten Lösungen 0 und 2.

Da die drei Fälle alle reellen Zahlen abdecken haben wir somit alle Lösungen der Gleichung |x-2|-|2+x-x²|=0 gefunden. Die Lösungsmenge ist also {-2,0,2}.
Ist zwar etwas aufwendiger als mein vorheriger Post, aber dafür hast Du mal eine Fallunterscheidung bei einem Betrag eines quadratischen Terms gesehen.


Ich hoffe das genügt nun als "richtige Beantwortung dieser Frage"...


Gruß

André