stationäre Verteilung

Eine Weitere aufgabe :

Die Kunden der Supermarkt Lidl,Aldi und Penny kaufen zwar immer in einem der drei Märkte ein , wechseln jedoch von Woche zu Woche nach folgenden Regeln :

1) 40% der Lidl-Kunden bleiben bei Lidl,30% wechseln zu Aldi und 30% zu P.
2) 50% der Aldi- Kunden bleiben bei Aldi,20% zu Lidl und 30% zu Penny.
3) 30% der Penny-Kunden bleiben bei Penny,20% wechseln zu Lidl,20%zu Aldi

a)Bestimmen sie die Übergangsmatrix A und berechnen Sie damit für eine Startverteilung von 60& Lidl,30%Aldi und 10%Penny-Kundne die Kundenverteilung nach einer Woche nach fünf Wochen.

b) Bestimmen Sie eine Gleichgewichtverteilung für die Kundenzahlen ,wenn die Supermärkte insgesamt 16000 Kunden haben.

c) Was hat die Grenzmatrix A^k für k --->unendlich mit dr Gleichgewichtteilung aus b) zu tun.

der rest ist dann recht simple algebra, zunächst berechne (A^k)x für die angegebenen k-werte (1,5)

dann ist nach ein x so zu bestimmen, dass Ax=x und summe x_i=1600 (möglich, da stochastische matrizen 1 als eigenwert haben)

und das x ist dann auch automatisch eine stationäre verteilung von lim A^k.

das sind doch (hier) nur versch. sprechweisen für ein und dasselbe