Extremwerte berechnen Hilfe

Die Funktion hat nur ein lokales Minimum.

Sei O(r) = 2*pi*r^2+r^-1

Dann ist d/dr O(r) = 4*pi*r - 1/r^2

und die zweite Ableitung ist O``(r) = 2/r^3 +4pi

Erste Bedingung O`(r) = 0 <=> 4*pi*r - 1/r^2 = 0

=> 4pi*r^3 = 1 => r^3 = 1/(4pi) => r_0 = 1/(4pi)^(1/3)

Zweite Bedingung: O``(r_0) != 0

Einetzen zeigt O``(r_0) > 0 => Lokales Minimum bei r_0


Einsetzen von O(r_0) ergibt Minimum bei (r_0, O(r_0)) mit O(r_0) = 3*(pi/2)^(1/3))

Untersuchung des Verhalten im Unendlichen um globale Extrema zu klassifizieren:

lim O(r) = infty für r -> +- infty


Nun muss man aber aufpassen, da die Funktion eine unstetigkeitsstelle in 0 hat. Und es kann natürlich auch noch komplexe Lösungen geben. Für den Rest, zeichne dir die Funktion mal auf. Dann sollte der Rest klar sein.