Differentialgleichung (Polarkoordinaten)

Sei A = {(r*cos(phi), r*sin(phi)), 0<r<1 und 0<phi<4/3 pi} und sei U: A-> |R folgendermaßen definiert:

U(r*cos(phi), r*sin(phi)) := u(r,phi) = (r^(3/4) - r^(-3/4)) sin(3/4 phi)

Zeige U erfüllt in A : -#U = 0

wobei # hier der Laplace-Operator sein soll.



Habe schon einige Ansätze, bin mit x = r*cos(phi) und y = r*sin(phi) drangegangen. Sodass ich es so gemacht habe:

=> r^2 = x^2 + y^2 und phi = arctan(y/x)

Weiterhin gelte:

u(r(x,y), phi(x,y)) = (r^(3/4) - r^(-3/4)) sin(3/4 phi) mit obigem r und phi.

Dann ist #U = div(grad(U)) = d^2 /dx^2 + d^2/dy^2

Dann kann man anfangen und gucken was d/dx ist, wie hier z.b.:

d/dx u(r,phi) = u_r * r_x + u_phi * phi_x

Das kann man jetzt alles mühevoll ausrechnen und und und...Aber irgendwie habe ich das Gefühl das müsste schneller gehen.

Denn immerhin gilt ja für Polarkoordinaten:

d^2 /dx^2 + d^2/dy^2 = 1/r * d/dr ( r* d/dr) + 1/r^2 * d/dphi

Aber das hat mir noch nicht viel gebracht muss ich sagen. Jemand ne gute Idee?