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Komplexe Zahlen

Frage: Komplexe Zahlen
(11 Antworten)


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Hallo ihr Lieben,

hätte mal eine Frage zu komplexen Zahlen.
Wir sollen die Aufgabe mit der quadratischen Ergänzung lösen. Wie sie geht, verstehe ich. Allerdings komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter. Vielleicht könnt ihr mir ja erklären, wie ich vorgehen muss. Danke! :)

z²-(4+2i)*z+(1+2i) = 0

LG FreAkZz
Frage von FreAkZz (ehem. Mitglied) | am 16.04.2013 - 15:20


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Beiträge 1563
96		 Antwort von LsD | 16.04.2013 - 18:56
Hier ist die berechnete Lösung von Wolfam Alpha:


z = (2+i) - Wurzel(2+2 i)
z = (2+i) + Wurzel(2+2 i)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=z%C2%B2-%284%2B2i%29*z%2B%281%2B2i%29+%3D+0&dataset=

Dort kannst du dir auch den Lösungsweg anzeigen lassen..
________________________
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14		 Antwort von FreAkZz (ehem. Mitglied) | 16.04.2013 - 20:42
Vielen Dank, den Lösungsweg hatte ich mir schon angeschaut, aber nicht so verstanden, wie man vorgeht...

Der 1. Schritt war; (z-(4+2i))z+(1+2i)=0

Vielleicht mache ich einen Denkfehler, aber ich komme mit z nicht mehr auf ein z² und noch ein z wie in der ursprünglichen Gleichung?!


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Beiträge 2737
102		 Antwort von v_love | 16.04.2013 - 20:50
schreibe (z-(2+i))²=d, und wähle d so, dass die Gleichungen äquivalent sind. das ist das, was man unter quadr. Ergänzung versteht.

anschließend könnte man d als 8^(1/2)*exp(pi/4+2pi*k), k aus Z schreiben, und das hoch 1/2 nehmen.


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14		 Antwort von Hernandez-Paulo (ehem. Mitglied) | 16.04.2013 - 21:00
z²-(4+2i)*z+(1+2i) = 0

z²-(4z+2zi)+1+2i=0

z²-z(4+2i)+1+2i

4+2i ist dein p

1+2i dein q

(4+2i)/2(+-)wurzel(4+2i)^2/2-1+2i

2+i(+-)wurzel(4)^2/2+(2i)^2/2-1+2i

2+i(+-)wurzel 4-(i^2=-1)-1+2i

2+i(+-)wurzel 4-1-1+2i

2+i(+-)wurzel 2+2i


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102		 Antwort von v_love | 16.04.2013 - 21:02
so eher nicht ...


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14		 Antwort von Hernandez-Paulo (ehem. Mitglied) | 16.04.2013 - 21:05
What warum denn nicht ? So hat es mir mein Prof gezeigt o^)


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102		 Antwort von v_love | 16.04.2013 - 21:11
1. entsprich das nicht ganz der Aufgabenstellung
2. vielleicht ist es ingenieuren egal, aber die wurzel einer komplexen zahl gibt es nicht.


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14		 Antwort von FreAkZz (ehem. Mitglied) | 20.04.2013 - 12:40
Ich kann von der Rechnung alles nachvollziehen bis auf eine Sache: Es heißt doch bei der p-q-Formel unter der Wurzel eigentlich -q. In der Gleichung steht (1+2i). Warum kommt dann aber Wurzel 2+2i raus? Wäre es nicht -q = -(1+2i) = -1-2i?


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Beiträge 2737
102		 Antwort von v_love | 21.04.2013 - 00:33
"Ich kann von der Rechnung alles nachvollziehen"

nicht unbedingt ein gutes zeichen in diesem fall.

"Wäre es nicht -q = -(1+2i) = -1-2i?"

erstens das, zweitens ist die ganze Rechnung durchgeschummelt (z.b. ist eine 2 durch eine 4 zu ersetzen), von dem abgesehen, was ich sowieso schon genannt habe.


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14		 Antwort von FreAkZz (ehem. Mitglied) | 22.04.2013 - 14:57
Ja, du hast recht, ich habe jetzt alles berichtigt. Wenn man dann bei 2+i(+-)wurzel 2+2i angekommen ist, wie würdest du denn dann weitermachen? Haben das noch nicht durchgenommen.


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Beiträge 2737
102		 Antwort von v_love | 22.04.2013 - 23:52
wenn du das etwas schöner schreiben willst; und vor allem ohne eine wurzel (wo man gar nicht weiß, welche wurzel überhaupt gemeint ist), dann schreibe 2+2i=2^(3/2)*e^(pi*i/4+2i*pi*k), und das kann man ^(1/2) nehmen.

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