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Monotonieverhalten ohne Ableitung zeigen

Frage: Monotonieverhalten ohne Ableitung zeigen
(12 Antworten)


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f(x)=1/(x+1)



Weisen Sie nach oder widerlegen Sie: f ist auf (- unendlich;-1) und (-1;unendlich) jeweils streng
monoton steigend ist, aber auf dem gesamten De nitionsbereich nicht.
Hinweis: Eine Argumentation mit Ableitungen oder dem Graphen von f ist hier nicht zulässig!


f(x) ist nicht auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend, da z.B. gilt:


-2<0


aber f(-2)=2 > f(0)=0




Wie weise ich aber Monotonie für (- unendlich;-1) und (-1;unendlich) nach?


Ein Tipp wäre sehr nett :-))
Frage von AbiTour (ehem. Mitglied) | am 28.12.2012 - 20:18


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17		 Antwort von S_A_S | 28.12.2012 - 22:05
Du
kannst über den Grenzwert argumentieren.


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102		 Antwort von v_love | 29.12.2012 - 01:31
acha, und wie soll das gehen?
lim(x-->-infty)f(x)=0, lim(x->-1, x<-1)=-infty -->f str. monoton fallend auf (-infty,-1)?

seien x1,x2 aus (-infty,-1) oder aus (-1,infty).
x2>x1 ->x2+1>x1+1-->f(x2)<f(x1), letzte umformung, weil x2+1 und x1+1 selbes vorzeichen haben.

("steigend" soll hier wohl "fallend" heißen; sonst ist die aufgabe witzlos)


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14		 Antwort von AbiTour (ehem. Mitglied) | 29.12.2012 - 11:20
die aufgabe ist schon richtig...ich weiß aber immernoch nicht wie ich das ohne Ableitung löse...ich würde gerne die kernidee verstehen.


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14		 Antwort von AbiTour (ehem. Mitglied) | 29.12.2012 - 23:29
keiner nen Plan? :D


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20		 Antwort von shiZZle | 29.12.2012 - 23:34
v_love hat dir doch schon alles gesagt. Mehr musst du doch nicht machen. Wo liegt denn jetzt noch das Problem?


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14		 Antwort von Webperoni (ehem. Mitglied) | 30.12.2012 - 05:54
Schau doch mal im Skript. Da ist eine Definition für Monotonie, z.B. a<b => f(a)<f(b). Also einfach mal f(a)<f(b) bilden, Term vereinfachen und schauen, ob du nicht auf a<b kommst dabei. Wird dir hier aber nicht gelingen, da f doch eig überall fällt. Sicher, dass du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast?
Sonst meinen die wahrscheinlich eher, dass man nachweisen soll, dass f str.mon. fällt. Das ist dann eben a<b =>f(a)>f(b)
Ja und bei -1 ist eben eine Definitionslücke


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20		 Antwort von shiZZle | 30.12.2012 - 11:53
Zitat:
x2>x1 ->x2+1>x1+1-->f(x2)<f(x1), letzte umformung, weil x2+1 und x1+1 selbes vorzeichen haben.


Ich weiß nicht, warum hier noch ein Problem besteht, wenn die Lösung schon angegeben ist. Du musst quasi doch nur noch nach der ersten Folgerung den Kehrwert nehmen und hast genau dann die letzte Folgerung.


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9		 Antwort von Peter | 30.12.2012 - 12:31
Zitat:
Schau doch mal im Skript.


studiert ihr zusammen oder welches skript meinst du?^^
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14		 Antwort von AbiTour (ehem. Mitglied) | 30.12.2012 - 13:18
f(x)= x/(x+1) lautet die richtige Funktion.Sorry.


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20		 Antwort von shiZZle | 30.12.2012 - 15:48
Selbes Spiel. Ändert nicht viel. Zeige: x1 > x2 => f(x1)>f(x2)

Und kleiner Tipp: f(x) = x/(x+1) = 1 - 1/(x+1)

Damit lässt sich das sehr leicht zeigen.


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14		 Antwort von AbiTour (ehem. Mitglied) | 30.12.2012 - 16:30
x2>x1 => f(x1)<f(x2) müsste es doch lauten wegen monoton steigend, oder nicht?


dann würde ich nämlich schreiben;


für x2>x1


x1/(x1+1)< x2/(x2+1)

x1(x2+1)<x2(x1+1)

x1x2 + x1 < x1x2 + x2

x1<x2




Aber wie beziehe ich das noch mit auf die Intervalle? Es muss ja gelten x1<x2 und f(x1)<f(x2)

Woher weiß ich, dass für immer größer werdendes x f(x) einen größeren Wert annimmt? Kann ich dann einfach zwei Werte einsetzen und das somit prüfen?


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14		 Antwort von Webperoni (ehem. Mitglied) | 30.12.2012 - 21:17
Ich weiß nicht genau, was du meinst. Du hast doch quasi zwei Werte (x2 und x1) eingesetzt und vorausgesetzt, dass der eine größer als der andere ist und damit auch gezeigt, dass f für den größeren Wert größer ist als für den kleineren Wert. Wenn du jetzt zwei konkrete Werte einsetzt, dann zeigst du das ja nur für die beiden konkreten Stellen und nicht für den gesamten Bereich.

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