Lipschitz stetigkeit

mir fällt es schwer die funktion:

f(x)(t) = x(t^2) vorzustellen. Immerhin weiß ich doch gar nicht wie die Funktion x(t^2) aussieht. Inwiefern soll ich hier ein Gegegenbeispiel finden? Ich könnte vielleicht mir ein x definieren, dass immer zwischen C(0,1) liegt. Z.b. Meinst du sowas in der Art? Weil wenn ich mir jetzt noch ein gescheites t definiere, das auch in C liegt, dann könnte ich dann sagen, dass diese funktion nicht mehr lipschitz stetig ist.

Also mir fällt es hier ein wenig schwer, weil x und t doch Variablen sind.

Ich hatte jetzt an den Betrag einer trigonometrischen Funktion gedacht. Aber wahrscheinlich auch viel zu kompliziert und am Ende wahrscheinlich sogar falsch ^^

Aber angenommen ich würde das so nehmen wie du das sagst, dann würde ich das doch so aufschreiben können oder:

max( x(t^2) - y(t^2)) = max( exp(-t^2))

Darf ich nun annehmen:

max( exp(-t^2)) < max( exp(-t))

t^2 > t und das wäre ein Widerspruch für ein t bel. ?

warum sollte das 1<1 sein für ein bel. t?

Oder ist damit eher gemeint: max(exp(-t^2)) = 1 < max(exp(-t)) = 1

Dann aber nur weil x=exp(-t) aus C[0,1]

Dann ist damit aber auch schon die b) gezeigt, denn es kann nicht für alle x gelten, wenn ich schon gezeigt habe, dass es für ein x nicht gilt. Daran wird mein L doch auch nichts mehr ändern.

Soweit so gut. Hänge jetzt bei der auch nur noch an dem Fixpunkt. Die anderen hjabe ich soweit. Aber die letzten beiden irritieren mich gerade.

Also Fixpunkt: f(x) = x also hier (f(x))(t) = x(t) also x(t^2) = x(t) muss gelöst werden.

Wenn ich nun eine funktion wähle mit x = exp(-t) bekomme ich:

exp(-t^2) - exp(t) = 0

wäre für t = 0 und t = 1 erfüllt.


Aber ich kann ja mein x definieren wie ich will, solange ich sage, dass es in meinem Intervall liegt. Also doch auch z.B.

x(t) = 1/2

Dann hätte ich aber auch für dieses x(t^2) - x(t) = 1/2 - 1/2 = 0

Also doch für alle x aus C([0,1]). Aber dann hätte ich unendlich viele Fixpunkte. Wo ist mein Denkfehler?

1)Ja ich weis das ich das nur für 1/2 gezeigt habe hehe. War ja nur ein Beispiel dafür das man es ja dann für jede Zahl machen kann.

Wäre eine Argumentation, dass ich Sage das kein L aus (0,1) existiert, und somit die Kontraktionseigenschaft nicht erfüllt ist?

2)Bei der Funktion davor hatte ich schon was doch jetzt zweifle ich irgendwie dran.

Kann ich da nicht dasselbe Spielchen machen mit x= 1+exp(-t) und y=0 machen?


3) Naja und weiterhin interessiert mich die lipschitz stetig im Intervall: [-M,M] von

f(x)= x/ln|x|

Hab durch den mittelwertsatz ein L =1/4 abgeschätzt. Aber das Kriege ich ja nicht für jedes Intervall hin.


Also |x/lnx - y/lny| : |x-y| = 1/ln(xsi) - 1/ln(xsi)^2

Naja Extrema liegt bei e^2 und somit <= 1/4