Gleichungssysteme lösen und zuordnen
Frage: Gleichungssysteme lösen und zuordnen(13 Antworten)
Hier ist das Aufgabenblatt: Zitat: Problem: Aufgabe 1 e) Welche Lösung benutze ich am besten für die Störfunktion? Habe es mit u_p(x) = a*x*e^(x)*(cos(x)+i*sin(x)) versucht. Aufgabe 6: Es geht um die beiden letzten DGL-Systeme. Wenn ich die allgemein aufschreibe und versuche zu lösen. Kriege zwei Gleichungen mit 4 Unbekannten. Ich könnte die gleichsetzen, sodass ich eine hyperpolische Zylinder Gleichung bekomme. Aber Helfen tut mir das wenig. Habe einen Lösungsansatz gesehen, wo man die Eigenwerte in abhängig der Funktionen gesetzt. Quasi so bei der ersten: lambda1 = x(t) lambda2 = -2x(t) Also habe ich zwei EW aus pos. und neg. Bereich. Also ein Sattelpunkt. Würde das so klappen? |
| Frage von shiZZle | am 06.11.2012 - 20:36 |
| Antwort von v_love | 06.11.2012 - 23:14 |
1) der ansatz wird sicher nicht zum ziel führen, dafür aber u_p(x)=e^x*(c+b*x+a*cos(x)+d*sin(x)) durch elementares umformen kommt man bei der ersten DGL auf x1²-x1`=-4(x1-x1`), das kann man leicht lösen, und x2 ergibt sich auch direkt. |
| Antwort von shiZZle | 06.11.2012 - 23:31 |
1) naja habe den Ansatz selbst aus folgender Seite: http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest10/Lsg_inhomDGL_2_Ord_konst_Koeff.html siehe in der Tabelle letzte. Wo ist der Unterschied bzw. warum unterscheidet sich das? 2)naja habe doch dort folgendes dgl: (x1` ,x2`) = (x1^2 +x2^2, -2x1*x2) wie kriegst du das denn umgeformt? |
| Antwort von v_love | 06.11.2012 - 23:51 |
"siehe in der Tabelle letzte. Wo ist der Unterschied bzw. warum unterscheidet sich das?" du hast hier keine 2 ordnung dgl. "2)naja habe doch dort folgendes dgl: (x1` ,x2`) = (x1^2 +x2^2, -2x1*x2)" ja, fast. und wie willst du das nun lösen. "wie kriegst du das denn umgeformt?", nach x2² auflösen, ableiten. |
| Antwort von shiZZle | 07.11.2012 - 00:22 |
sehe ich das vllt falsch ^^ zwei Gleichungen, nenne x1 jetzt mal x und x2 y x` = x^2 - y^2 y` = -2x*y kann das obere auch nach y^2 umformen und ableiten, sehe aber nicht ganz wohin das führen soll: y^2 = - x` + x^2 nach t ableiten: 2y*y` = x`` + 2x*x` könnte jetzt höchstens y` durch -2x*y ersetzen. Aber ob das hilft? |
| Antwort von shiZZle | 07.11.2012 - 00:28 |
Wollte dir aber noch kurz mein anderen Weg sagen, und fragen wieso das nicht geht: Ich kann diesen Vektor ja auch als Matrix darstellen und in die Form bringen: x`(t) = M* x(t) und zwar so: x`(t) = ( {x1(t), -x2(t)} , {0, -2x1(t)}) * x(t) wobei x(t) = (x1,x2) und x`(t) dementsprechend. Und nach Vorlesung reicht es davon die EW von M zu bestimmen, um etwas über das Bild zu sagen: EW wären hier: cp(lambda) = (x1(t) - lambda)(-2x1(t) - lambda) also: lambda_1 = x_1(t) lambda_2 = -2x1(t) und da somit lambda_i aus R+ und lambda_ j aus R- folgt das wir dort einen Sattelpunkt haben nach Vorlesung |
| Antwort von v_love | 07.11.2012 - 01:06 |
ok, ich hätte mir vielleicht vorher die aufgabenstellung durchlesen sollen, sorry. (eigentlich bin ich davon ausgegangen, dass man die systeme lösen muss) da man nur die phasenportaits zeichnen bzw. zuordnen muss, ist die aufgabe noch einfacher. ich würde mich hier nicht allzu stark an irgendwelche schemata halten, sondern von fall zu fall entscheiden, z.b. ist bei der ersten dgl die y-komponente 0 bei x=0, dafür kommt nur ein bild in frage, ohne irgendwas zu rechnen sieht man also die lösung. selbes spiel bei zweiter dgl und y=0. und zu deinem vorgehen ein wort: das geht so nicht, mit sicherheit habt ihr das in der vorlesung auch nur für konstante koeffizientenmatrizen klassifiziert. so macht das keinen sinn, du kannst auch nicht sagen, dass du einen sattelpunkt vorliegen hast, du hast schließlich keine festen eigenwerte mit unterschiedlichem vorzeichen. die beispiele sind auch wohl dafür gedacht, dass man auf alternative art die portraits zuordnet, bleiben ja auch nur 3 übrig (eigentlich 2), keine große auswahl. |
| Antwort von shiZZle | 07.11.2012 - 17:40 |
Hab die versucht mal zuzuordnen. Komme bei der ersten auf das Bild E und bei der zweiten auf das Bild D. Kommt das hin? Bei der ersten Auufgabe mit deinem Vorschlag: u_p(x)=e^x*(c+b*x+a*cos(x)+d*sin(x)) Da wirds irgendwie komisch. Habe 8 mal abgeleitet, sodass ich: u_p^(8) = 16*e^x( d*sin(x) + a * cos(x)) + e^x (bx+c+8b) bekomme. Nun in meine Gleichung einsetzen: 16*e^x( d*sin(x) + a * cos(x)) + e^x (bx+c+8b) - 16*e^x*(c+b*x+a*cos(x)+d*sin(x))) = e^x*sin(x) Ich kann das links leider etwas kürzen, sodass da nur noch steht: e^x * (-15bx -15c+8b) = e^x * sin(x) naja und jetzt bekomme ich Probleme. |
| Antwort von v_love | 07.11.2012 - 22:45 |
"Hab die versucht mal zuzuordnen. Komme bei der ersten auf das Bild E und bei der zweiten auf das Bild D. Kommt das hin?" das erste ja, das zweite nicht. "naja und jetzt bekomme ich Probleme." liegt daran, dass mein ansatz schrott ist, richtig wäre u_p(x)=e^x*((a+bx)cos(x)+(d+cx)sin(x)). |
| Antwort von shiZZle | 07.11.2012 - 23:26 |
ne der Anstatz bringt einem auch nicht so viel. Kürzt sich wieder weg o.O 8 Ableitung von u_p(x) = 16*((a+bx)cos(x)+(d+cx)sin(x)) Und das System lautet: u(x)^(8) - 16*u(x) = e^x * sin(x) und zack steht da 0 = e^x * sin(x) Die Aufgabe regt mich langsam auf. |
| Antwort von v_love | 07.11.2012 - 23:49 |
dann hast du dich verrechnet, klappt sogar mit einem parameter hier - aber das ist zufall. |
| Antwort von shiZZle | 07.11.2012 - 23:54 |
 Naja wenn ich richtig sehe ist das doch gerade 16*u_p(x) |
| Antwort von v_love | 08.11.2012 - 00:16 |
jo, dann wird die ableitung wohl falsch berechnet  |
| Antwort von shiZZle | 08.11.2012 - 00:23 |
jap hast recht, habs auch mal gerade ausgerechnet. Naja nun klappts. Hab jetzt auch das richtige Ergebnisse. Danke dir |
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